Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
В неравнобедренном треугольнике точка – середина , – ближайшая к точка пересечения луча и вписанной окружности треугольника, – дальняя от точка пересечения луча и вневписанной окружности. Касательная к вписанной окружности в точке пересекает в точке , а касательная к вневписанной окружности в точке пересекает в точке . Докажите, что .
Дан вписанный пятиугольник . Точка внутри треугольника такова, что , и . Докажите, что прямые , и пересекаются в одной точке.
В треугольнике точка – середина дуги описанной окружности , – центр вписанной окружности, – вторая точка пересечения прямой с , – точка касания стороны с соответствующей вневписанной окружностью, – вторая точка пересечения окружности с прямой, проходящей через и параллельной . Докажите, что прямые и пересекаются на .
В неравнобедренном треугольнике – ортоцентр. Биссектриса угла пересекает прямые и в точках и соответственно. Перпендикуляры, восставленные к и из и , пересекаются в точке . Докажите, что прямая делит отрезок пополам.
Дана окружность и ее хорда . Точка движется по большей из дуг . Пусть – ортоцентр треугольника , , – такие точки на сторонах , , что – середина отрезка , – центр описанной окружности треугольника . Докажите, что все точки лежат на одной окружности.
Диагонали трапеции ABCD перпендикулярны. Точка M – середина боковой стороны AB, точка N симметрична центру описанной окружности треугольника ABD относительно прямой AD. Докажите, что ∠CMN = 90°.
В остроугольном треугольнике ABC углы B и C больше 60°. Точки P, Q на сторонах AB, AC таковы, что A, P, Q и ортоцентр треугольника H лежат на одной окружности; K – середина отрезка PQ. Докажите, что ∠BKC > 90°.
Петя и Вася играют в такую игру. Сначала Петя задумывает некоторый многочлен P(x) с целыми коэффициентами. Далее делается несколько ходов. За ход Вася платит Пете рубль и называет любое целое число a по своему выбору, которое он ещё не называл, а Петя в ответ говорит, сколько решений в целых числах имеет уравнение P(x) = a. Вася выигрывает, как только Петя два раза (не обязательно подряд) назвал одно и то же число. Какого наименьшего числа рублей хватит Васе, чтобы гарантированно выиграть?