Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
В треугольнике угол равен . Точка – центр вписанной окружности, – середина . Прямая, проходящая через и параллельная , пересекает окружность с диаметром в точках и (точки и лежат в одной полуплоскости относительно прямой ). Прямая, проходящая через и перпендикулярная , пересекает прямые и в точках и . Найдите угол .
На аттракционе «Весёлая парковка» у машинки только 2 положения руля: «вправо» и «совсем вправо». В зависимости от положения руля, машинка едет по дуге радиуса или . Машинка выехала из точки на север и проехала расстояние , повернув при этом на угол $\alpha
К вписанной окружности треугольника проведена касательная, параллельная . Она пересекает внешнюю биссектрису угла в точке . Точка – середина дуги описанной окружности. Докажите, что угол прямой.
Выпуклый четырёхугольник обладает таким свойством: ни из каких трёх его сторон нельзя сложить треугольник. Докажите, что а) один из углов этого четырёхугольника не больше ; б) один из углов этого четырёхугольника не меньше .
Есть 100 кучек по 400 камней в каждой. За ход Петя выбирает две кучки, удаляет из них по одному камню и получает за это столько очков, каков теперь модуль разности числа камней в этих двух кучках. Петя должен удалить все камни. Какое наибольшее суммарное количество очков он может при этом получить?