Задача № 216903
В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AA1 и BB1, которые пересекаются в точке O. Затем провели высоту A1A2 треугольника OBA1 и высоту B1B2 треугольника OAB1. Докажите, что отрезок A2B2 параллелен стороне AB.
Штейнгарц Л. — олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 166771
Внутри окружности расположен прямоугольник . Лучи и пересекают окружность в точках и . Точка – середина хорды . Аналогично определяются точки , , . Докажите, чтоотрезки и равны.
Задача № 166647
В прямоугольном треугольнике (угол прямой) , – высота, и – центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники и , а – центр окружности, вписанной в треугольник . Пусть , и – проекции точек , и на гипотенузу. Докажите, что .
Задача № 166642
Внутри квадрата расположены три окружности, каждая из которых касается внешним образом двух других, а также касается двух сторон квадрата. Докажите, что радиусы двух из данных окружностей одинаковы.
Задача № 166231
В параллелограмме ABCD провели трисектрисы углов A и B. Трисектрисы, ближние к стороне AB, пересекаются в точке O. Обозначим пересечение трисектрисы AO со второй трисектрисой угла B через A1, а пересечение трисектрисы BO со второй трисектрисой угла A через B1. Пусть M – середина отрезка A1B1, а прямая MO пересекает сторону AB в точке N. Докажите, что треугольник A1B1N – равносторонний.
Задача № 166205
Окружность отсекает от прямоугольника ABCD четыре прямоугольных треугольника, середины гипотенуз которых A0, B0, C0 и D0 соответственно. Докажите, что отрезки A0C0 и B0D0 равны.
Задача № 164456
В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC) угол при вершине C равен 20°. Биссектрисы углов A и B пересекают боковые стороны треугольника соответственно в точках A1 и B1. Докажите, что треугольник A1OB1 (где O – центр описанной окружности треугольника ABC) является равносторонним.