Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Касательные, проведённые к описанной окружности остроугольного треугольника ABC в точках A и C, пересекаются в точке Z. AA1, CC1 – высоты. Прямая A1C1 пересекает прямые ZA, ZC в точках X и Y соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ касаются.
Биссектрисы треугольника пересекаются в точке . Серединный перпендикуляр к отрезку пересекает прямые , в точках , . Докажите, что описанные окружности треугольников и касаются.
Дан треугольник ABC. На его сторонах AB и BC зафиксированы точки C1 и A1 соответственно. Найдите на описанной окружности треугольника ABC такую точку P, что расстояние между центрами описанных окружностей треугольников APC1 и CPA1 минимально.