Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Стороны , , и четырехугольника касаются окружности с центром в точках , , и соответственно. На прямой выбрана произвольная точка . Прямая пересекает прямую в точке . Прямая пересекает прямую в точке . Прямая пересекает прямую в точке . Докажите, что точки , и лежат на одной прямой.
Вписанная и вневписанная окружности треугольника касаются отрезка в точках и соответственно. Прямые и вторично пересекают описанную окружность треугольника в точках и соответственно. Докажите, что .
Через точку внутри треугольника провели три чевианы. Оказалось, что длины шести отрезков, на которые они разбивают стороны треугольника, образуют в каком-то порядке геометрическую прогрессию. Докажите, что длины чевиан тоже образуют геометрическую прогрессию.
Пусть , , – середины сторон , и треугольника , – основание высоты, проведенной из вершины , а – точка касания вписанной окружности со стороной . Описанные окружности треугольников и вторично пересекают прямую в точках и соответственно. Окружность пересекает эту прямую в точках и . Докажите, что .
Трапеция с основаниями и вписана в окружность с центром . Из точки к описанной окружности треугольника проведены касательные и . Докажите, что описанная окружность треугольника проходит через середину основания .
На плоскости даны точки , , и общего положения и проходящая через и окружность . Точка движется по . Обозначим через точку пересечения описанных окружностей треугольников и , отличную от . Найдите геометрическое место точек .
Дан прямоугольный треугольник ABC. Пусть M – середина гипотенузы AB, O – центр описанной окружности ω треугольника CMB. Прямая AC вторично пересекает окружность ω в точке K. Прямая KO пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке L. Докажите, что прямые AL и KM пересекаются на описанной окружности треугольника ACM.
Дан правильный 4n-угольник A1A2...A4n площади S, причём n > 1. Найдите площадь четырёхугольника A1AnAn +1An+2.