Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
В окружность Ω вписан остроугольный треугольник ABC, в котором AB > BC. Пусть P и Q – середины меньшей и большей дуг AC окружности Ω, соответственно, а M – основание перпендикуляра, опущенного из точки Q на отрезок AB. Докажите, что описанная окружность треугольника BMC делит пополам отрезок BP.
В остроугольном треугольнике ABC на высоте BH выбрана произвольная точка P. Точки A' и C' – середины сторон BC и AB соответственно. Перпендикуляр, опущенный из A' на CP, пересекается с перпендикуляром, опущенным из C' на AP, в точке K. Докажите, что точка K равноудалена от точек A и C.
В остроугольном треугольнике отмечены точки и — центры вписанной и описанной окружностей соответственно. Прямые и вторично пересекают описанную окружность треугольника в точках и . Отрезки и пересекаются в точке . Докажите, что прямые и перпендикулярны.
На боковых сторонах и равнобедренного треугольника отмечены точки и так, что . Точка симметрична точке относительно прямой . Докажите, что прямая проходит через точку пересечения биссектрис треугольника .
Стороны , , и четырехугольника касаются окружности с центром в точках , , и соответственно. На прямой выбрана произвольная точка . Прямая пересекает прямую в точке . Прямая пересекает прямую в точке . Прямая пересекает прямую в точке . Докажите, что точки , и лежат на одной прямой.
Вписанная и вневписанная окружности треугольника касаются отрезка в точках и соответственно. Прямые и вторично пересекают описанную окружность треугольника в точках и соответственно. Докажите, что .
Через точку внутри треугольника провели три чевианы. Оказалось, что длины шести отрезков, на которые они разбивают стороны треугольника, образуют в каком-то порядке геометрическую прогрессию. Докажите, что длины чевиан тоже образуют геометрическую прогрессию.
В отель ночью приехали туристов. Они знают, что в отеле есть одноместные номера , , из которых на ремонте (но неизвестно какие), а остальные свободны. Туристы могут заранее договориться о своих действиях, после чего по очереди уходят заселяться: каждый проверяет номера в любом порядке, находит первый свободный номер не на ремонте и остаётся там ночевать. Но туристы не хотят беспокоить друг друга: нельзя проверять номер, куда уже кто-то заселился. Для каждого укажите наименьшее , при котором туристы гарантированно смогут заселиться, не потревожив друг друга.
Барон Мюнхгаузен придумал теорему: если многочлен имеет натуральных корней, то на плоскости найдутся прямых, у которых ровно точек пересечения друг с другом. Не ошибается ли барон?
Трапеция с основаниями и вписана в окружность с центром . Из точки к описанной окружности треугольника проведены касательные и . Докажите, что описанная окружность треугольника проходит через середину основания .
На плоскости даны точки , , и общего положения и проходящая через и окружность . Точка движется по . Обозначим через точку пересечения описанных окружностей треугольников и , отличную от . Найдите геометрическое место точек .
Дан описанный четырёхугольник . Докажите, что точка пересечения диагоналей, центр вписанной окружности треугольника и центр вневписанной окружности треугольника , касающейся стороны лежат на одной прямой.
Дан треугольник . Пусть – центр вневписанной окружности, касающейся стороны , а и – точки касания двух других вневписанных окружностей со сторонами и соответственно. Пусть – середина отрезка , а отрезки и пересекаются в точке . Докажите, что точки , , и лежат на одной окружности.
Дан неравнобедренный треугольник ABC. Точка O – центр его описанной окружности, а точка K – центр описанной окружности ω треугольника BCO. Высота треугольника ABC, проведенная из точки A, пересекает окружность ω в точке P. Прямая PK пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках E и F. Докажите, что один из отрезков EP и FP равен отрезку PA.