Задача № 166770
Окружность проходит через центр окружности и пересекает ее в точках и . Окружность с центром в точке и радиусом пересекает повторно окружности и в точках и (отличных от ). Докажите, что точки , , лежат на одной прямой.
Швецов Д.В. — олимпиадные задачи по математике
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 166682
Высоты , остроугольного треугольника пересекают внутреннюю биссектрису угла в точках , , а внешнюю в точках , . Докажите, что ортоцентры треугольников , и вершина лежат на одной прямой.
Задача № 166645
Четырехугольник вписан в окружность. По дуге , не содержащей точек и , движется точка . Фиксированная прямая , перпендикулярная прямой , пересекает лучи , в точках , соответственно. Докажите, что касательная, проведенная к описанной окружности треугольника в точке , проходит через фиксированную точку.
Задача № 166314
Две окружности пересекаются в точках A и B. Пусть CD – их общая касательная (C и D – точки касания), а Oa, Ob – центры описанных окружностей треугольников CAD, CBD соответственно. Докажите, что середина отрезка OaOb лежит на прямой AB.
Задача № 166260
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Касательная, проведённая к описанной окружности треугольника BOC в точке O, пересекает луч CB в точке F. Описанная окружность треугольника FOD повторно пересекает прямую BC в точке G. Докажите, что AG = AB.
Задача № 166234
Высоты AA1, CC1 треугольника ABC пересекаются в точке H. HA – точка симметричная H относительно A. HAC1 пересекает прямую BC в точке C'; аналогично определяется точка A'. Докажите, что A'C' || AC.
Задача № 166215
AA1, BB1, CC1 – высоты треугольника ABC, B0 – точка пересечения BB1 и описанной окружности Ω, Q – вторая точка пересечения Ω и описанной окружности ω треугольника A1C1B0. Докажите, что BQ – симедиана треугольника ABC.
Задача № 166145
Вписанная окружность неравнобедренного треугольника ABC касается сторон AB, BC и ABC в точках C1, A1 и B1 соответственно. Описанная окружность треугольника A1BC1 пересекает прямые B1A1 и B1C1 в точках A0 и C0 соответственно. Докажите, что ортоцентр H треугольника A0BC0, центр I вписанной окружности треугольника ABC и середина M стороны AC лежат на одной прямой.
Задача № 165798
По стороне AB треугольника ABC движется точка X, а по описанной окружности Ω – точка Y так, что прямая XY проходит через середину дуги AB. Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников IXY, где I – центр вписанной окружности треугольника ABC.
Задача № 165644
Пусть M и N – середины гипотенузы AB и катета BC прямоугольного треугольника ABC соответственно. Вневписанная окружность треугольника ACM касается стороны AM в точке Q, а прямой AC – в точке P. Докажите, что точки P, Q и N лежат на одной прямой.
Задача № 165380
В прямоугольном неравнобедренном треугольнике ABC точка M – середина гипотенузы AC, точки Ha, Hc – ортоцентры треугольников ABM, CBM соответственно, прямые AHc, CHa пересекаются в точке K. Докажите, что ∠MBK = 90°.
Задача № 165372
В неравнобедренном прямоугольном треугольнике ABC точка M – середина гипотенузы AC, точки Ha, Hc – ортоцентры треугольников ABM, CBM соответственно. Докажите, что прямые AHc, CHa пересекаются на средней линии треугольника ABC.
Задача № 165037
Вневписанная окружность прямоугольного треугольника ABC (∠B = 90°) касается стороны BC в точке A1, а прямой AC в точке A2. Прямая A1A2 пересекает (первый раз) вписанную окружность треугольника ABC в точке A'; аналогично определяется точка C'. Докажите, что AC || A'C'.
Задача № 165035
Точка H – ортоцентр треугольника ABC. Касательные, проведённые к описанным окружностям треугольников CHB и AHB в точке H, пересекают прямую AC в точках A1 и C1 соответственно. Докажите, что A1H = C1H.
Задача № 165034
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC (∠B = 90°), касается сторон AB, BC, CA в точках C1, A1, B1 соответственно. A2, C2 – точки, симметричные точке B1 относительно прямых BC, AB соответственно. Докажите, что прямые A1A2, C1C2 пересекаются на медиане треугольника ABC.
Задача № 165029
В треугольнике ABC ∠A = 60°. Серединный перпендикуляр к отрезку AB пересекает прямую AC в точке C1. Серединный перпендикуляр к отрезку AC пересекает прямую AB в точке B1. Докажите, что прямая B1C1 касается вписанной окружности треугольника ABC.
Задача № 165009
В треугольнике ABC проведена высота AH. Точки Ib и Ic – центры вписанных окружностей треугольников ABH и CAH; L – точка касания вписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Найдите угол LIbIc.
Задача № 165008
Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная медиане BM. Эта прямая пересекает высоты, выходящие из вершин A и C (или их продолжения), в точках K и N. Точки O1 и O2 – центры описанных окружностей треугольников ABK и CBN соответственно. Докажите, что O1M = O2M.
Задача № 165007
На стороне BC равностороннего треугольника ABC взяты такие точки M и N (M лежит между B и N) , что ∠MAN = 30°. Описанные окружности треугольников AMC и ANB пересекаются в точке K. Докажите, что прямая AK содержит центр описанной окружности треугольника AMN.
Задача № 165006
На высоте BD треугольника ABC взята такая точка E, что ∠AEC = 90°. Точки O1 и O2 – центры описанных окружностей треугольников AEB и CEB; F, L – середины отрезков AC и O1O2. Докажите, что точки L, E, F лежат на одной прямой.
Задача № 165005
Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке N. Описанные окружности треугольников ANB и CND повторно пересекают стороны BC и AD в точках A1, B1, C1, D1. Докажите, что четырёхугольник A1B1C1D1 вписан в окружность с центром N.
Задача № 165003
В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) биссектрисы AA1 и BB1 пересекаются в точке I. Пусть O – центр описанной окружности треугольника CA1B1. Докажите, что OI ⊥ AB.
Задача № 164910
Пусть BM – медиана прямоугольного треугольника ABC (∠B = 90°). Окружность, вписанная в треугольник ABM, касается сторон AB, AM в точках A1, A2; аналогично определяются точки C1, C2. Докажите, что прямые A1A2 и C1C2 пересекаются на биссектрисе угла ABC.
Задача № 164908
На гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC отметили точку такую C1, что BC = CC1. Затем на катете AB отметили такую точку C2, что AC2 = AC1; аналогично определяется точка A2. Найдите угол AMC, где M – середина отрезка A2C2.
Задача № 164907
На стороне AC треугольника ABC произвольно выбрана точка D. Касательная, проведённая в точке D к описанной окружности треугольника BDC, пересекает сторону AB в точке C1; аналогично определяется точка A1. Докажите, что A1C1 || AC.
26–50 из 67