Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Перпендикуляр, опущенный из вершины C на биссектрису угла ABD, пересекает прямую AB в точке C1; перпендикуляр, опущенный из вершины B на биссектрису угла ACD, пересекает прямую CD в точке B1. Докажите, что B1C1 || AD.
Две окружности w1 и w2 пересекаются в точках A и B. К ним через точку A проводятся касательные l1 и l2 (соответственно). Перпендикуляры, опущенные из точки B на l2 и l1, вторично пересекают окружности w1 и w2 соответственно в точках K и N. Докажите, что точки K, A и N лежат на одной прямой.
Пусть a, b, c – длины сторон произвольного треугольника; p – полупериметр; r – радиус вписанной окружности. Докажите неравенство
Диагонали вписанного четырёхугольника пересекаются в точке . Биссектриса угла пересекает диагональ в точке , а биссектриса угла – диагональ в точке . Докажите, что прямые и пересекаются на медиане треугольника .
Биссектрисы и пересекают описанную окружность треугольника в точках , соответственно. Описанная окружность треугольника пересекает сторону в точке ; аналогично определим . Докажите, что точки , , лежат на одной прямой.
Пусть – высота прямоугольного треугольника . Вневписанная окружность треугольника , противолежащая вершине , касается прямой в точке ; аналогично определяется точка . Докажите, что .
Окружность, вписанная в треугольник , касается его сторон , , в точках , , соответственно. Пусть – точка, симметричная относительно прямой ; аналогично определяется точка . Прямые и пересекаются в точке . Докажите, что .
Диагонали вписанного четырехугольника пересекаются в точке . Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная , пересекает прямую в точке ; аналогично определяется точка . Докажите, что касательная, проведенная в точке к описанной окружности треугольника , параллельна прямой .
Пусть , , – высоты остроугольного треугольника ; – точка касания вписанной окружности треугольника со стороной ; аналогично определяются точки , . Докажите, что прямые , , пересекаются в одной точке.
В треугольнике , – высота; – биссектрисы углов соответственно; – середины отрезков и соответственно. Докажите, что прямые и пересекаются на биссектрисе угла .
Высоты , остроугольного треугольника пересекаются в точке ; – середина стороны . Прямая, проходящая через вершину параллельно , пересекает прямые , в точках , соответственно. Докажите, что прямые , , пересекаются в одной точке.
Cерединный перпендикуляр к стороне треугольника пересекает прямые , в точках и соответственно. Точки , – центры описанных окружностей треугольников и соответственно. Докажите, что .
В треугольнике , , , – середины сторон , , соответственно. На отрезках и во внешнюю сторону построены как на основаниях равносторонние треугольники с вершинами , . Найдите угол .
Пусть , , – высоты треугольника ; , – точки пересечения описанной окружности треугольника с прямыми и соответственно. Докажите, что прямые и пересекаются на медиане треугольника или параллельны ей.
Окружность проходит через центр окружности и пересекает ее в точках и . Окружность с центром в точке и радиусом пересекает повторно окружности и в точках и (отличных от ). Докажите, что точки , , лежат на одной прямой.
Высоты , остроугольного треугольника пересекают внутреннюю биссектрису угла в точках , , а внешнюю в точках , . Докажите, что ортоцентры треугольников , и вершина лежат на одной прямой.
Четырехугольник вписан в окружность. По дуге , не содержащей точек и , движется точка . Фиксированная прямая , перпендикулярная прямой , пересекает лучи , в точках , соответственно. Докажите, что касательная, проведенная к описанной окружности треугольника в точке , проходит через фиксированную точку.
Две окружности пересекаются в точках A и B. Пусть CD – их общая касательная (C и D – точки касания), а Oa, Ob – центры описанных окружностей треугольников CAD, CBD соответственно. Докажите, что середина отрезка OaOb лежит на прямой AB.
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Касательная, проведённая к описанной окружности треугольника BOC в точке O, пересекает луч CB в точке F. Описанная окружность треугольника FOD повторно пересекает прямую BC в точке G. Докажите, что AG = AB.
В прямоугольном неравнобедренном треугольнике ABC точка M – середина гипотенузы AC, точки Ha, Hc – ортоцентры треугольников ABM, CBM соответственно, прямые AHc, CHa пересекаются в точке K. Докажите, что ∠MBK = 90°.
В неравнобедренном прямоугольном треугольнике ABC точка M – середина гипотенузы AC, точки Ha, Hc – ортоцентры треугольников ABM, CBM соответственно. Докажите, что прямые AHc, CHa пересекаются на средней линии треугольника ABC.
Вневписанная окружность прямоугольного треугольника ABC (∠B = 90°) касается стороны BC в точке A1, а прямой AC в точке A2. Прямая A1A2 пересекает (первый раз) вписанную окружность треугольника ABC в точке A'; аналогично определяется точка C'. Докажите, что AC || A'C'.
Точка H – ортоцентр треугольника ABC. Касательные, проведённые к описанным окружностям треугольников CHB и AHB в точке H, пересекают прямую AC в точках A1 и C1 соответственно. Докажите, что A1H = C1H.
В треугольнике ABC ∠A = 60°. Серединный перпендикуляр к отрезку AB пересекает прямую AC в точке C1. Серединный перпендикуляр к отрезку AC пересекает прямую AB в точке B1. Докажите, что прямая B1C1 касается вписанной окружности треугольника ABC.
На высоте BD треугольника ABC взята такая точка E, что ∠AEC = 90°. Точки O1 и O2 – центры описанных окружностей треугольников AEB и CEB; F, L – середины отрезков AC и O1O2. Докажите, что точки L, E, F лежат на одной прямой.