Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
На стороне BC квадрата ABCD выбрали точку M. Пусть X, Y, Z – центры окружностей, вписанных в треугольники ABM, CMD, AMD соответственно; Hx, Hy, Hz – ортоцентры треугольников AXB, CYD, AZD соответственно. Докажите, что точки Hx, Hy, Hz лежат на одной прямой.
Через вершины A, B, C треугольника ABC проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках A1, B1, C1 соответственно. Точки A2, B2, C2 симметричны точкам A1, B1, C1 относительно сторон BC, CA, AB соответственно. Докажите, что прямые AA2, BB2, CC2 пересекаются в одной точке.
Высоты AA1, CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка Q симметрична середине стороны AC относительно AA1. Точка P – середина отрезка A1C1. Докажите, что ∠QPH = 90°.
Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором ∠B = 120°. На продолжениях сторон AB и CB за точку B взяли точки P и Q соответственно так, что лучи AQ и CP пересекаются под прямым углом. Докажите, что ∠PQB = 2∠PCQ.
H – точка пересечения высот AA' и BB' остроугольного треугольника ABC. Прямая, перпендикулярная AB, пересекает эти высоты в точках D и E, а сторону AB – в точке P. Докажите, что ортоцентр треугольника DEH лежит на отрезке CP.
В треугольнике ABC точка I – центр вписанной окружности, точки IA, IC – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон BC и AB соответственно. Точка O – центр описанной окружности треугольника IIAIC. Докажите, что OI ⊥ AC.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Перпендикуляр, опущенный из вершины C на биссектрису угла ABD, пересекает прямую AB в точке C1; перпендикуляр, опущенный из вершины B на биссектрису угла ACD, пересекает прямую CD в точке B1. Докажите, что B1C1 || AD.
Две окружности w1 и w2 пересекаются в точках A и B. К ним через точку A проводятся касательные l1 и l2 (соответственно). Перпендикуляры, опущенные из точки B на l2 и l1, вторично пересекают окружности w1 и w2 соответственно в точках K и N. Докажите, что точки K, A и N лежат на одной прямой.
Пусть I – центр вписанной окружности прямоугольного треугольника ABC, касающейся катетов AC и BC в точках B0 и A0 соответственно. Перпендикуляр, опущенный из A0 на прямую AI, и перпендикуляр, опущенный из B0 на прямую BI, пересекаются в точке P. Докажите, что прямые CP и AB перпендикулярны.
Пусть a, b, c – длины сторон произвольного треугольника; p – полупериметр; r – радиус вписанной окружности. Докажите неравенство
Диагонали вписанного четырёхугольника пересекаются в точке . Биссектриса угла пересекает диагональ в точке , а биссектриса угла – диагональ в точке . Докажите, что прямые и пересекаются на медиане треугольника .
Пусть , , – высоты остроугольного треугольника ; – центр вневписанной окружности, соответствующей вершине ; – точка, симметричная относительно прямой . Аналогично построим точки , . Докажите, что прямые , , пересекаются в одной точке.
Биссектрисы , треугольника , в котором , пересекаются в точке . Описанные окружности треугольников , пересекаются в точке . Докажите, что прямая проходит через середину стороны .
Биссектрисы и пересекают описанную окружность треугольника в точках , соответственно. Описанная окружность треугольника пересекает сторону в точке ; аналогично определим . Докажите, что точки , , лежат на одной прямой.
Пусть , , – основания высот остроугольного треугольника . Окружность, вписанная в треугольник , касается сторон в точках . Докажите, что прямые пересекаются в одной точке, лежащей на прямой Эйлера треугольника .
Пусть – высота прямоугольного треугольника . Вневписанная окружность треугольника , противолежащая вершине , касается прямой в точке ; аналогично определяется точка . Докажите, что .
Окружность, вписанная в треугольник , касается его сторон , , в точках , , соответственно. Пусть – точка, симметричная относительно прямой ; аналогично определяется точка . Прямые и пересекаются в точке . Докажите, что .
Диагонали вписанного четырехугольника пересекаются в точке . Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная , пересекает прямую в точке ; аналогично определяется точка . Докажите, что касательная, проведенная в точке к описанной окружности треугольника , параллельна прямой .
Пусть , , – высоты остроугольного треугольника ; – точка касания вписанной окружности треугольника со стороной ; аналогично определяются точки , . Докажите, что прямые , , пересекаются в одной точке.
В треугольнике , – высота; – биссектрисы углов соответственно; – середины отрезков и соответственно. Докажите, что прямые и пересекаются на биссектрисе угла .
Высоты , остроугольного треугольника пересекаются в точке ; – середина стороны . Прямая, проходящая через вершину параллельно , пересекает прямые , в точках , соответственно. Докажите, что прямые , , пересекаются в одной точке.
Cерединный перпендикуляр к стороне треугольника пересекает прямые , в точках и соответственно. Точки , – центры описанных окружностей треугольников и соответственно. Докажите, что .
Биссектрисы треугольника пересекаются в точке . Серединный перпендикуляр к отрезку пересекает прямые , в точках , . Докажите, что описанные окружности треугольников и касаются.
В треугольнике , , , – середины сторон , , соответственно. На отрезках и во внешнюю сторону построены как на основаниях равносторонние треугольники с вершинами , . Найдите угол .
Пусть , , – высоты треугольника ; , – точки пересечения описанной окружности треугольника с прямыми и соответственно. Докажите, что прямые и пересекаются на медиане треугольника или параллельны ей.