Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
На стороне BC квадрата ABCD выбрали точку M. Пусть X, Y, Z – центры окружностей, вписанных в треугольники ABM, CMD, AMD соответственно; Hx, Hy, Hz – ортоцентры треугольников AXB, CYD, AZD соответственно. Докажите, что точки Hx, Hy, Hz лежат на одной прямой.
Через вершины A, B, C треугольника ABC проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках A1, B1, C1 соответственно. Точки A2, B2, C2 симметричны точкам A1, B1, C1 относительно сторон BC, CA, AB соответственно. Докажите, что прямые AA2, BB2, CC2 пересекаются в одной точке.
H – точка пересечения высот AA' и BB' остроугольного треугольника ABC. Прямая, перпендикулярная AB, пересекает эти высоты в точках D и E, а сторону AB – в точке P. Докажите, что ортоцентр треугольника DEH лежит на отрезке CP.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Перпендикуляр, опущенный из вершины C на биссектрису угла ABD, пересекает прямую AB в точке C1; перпендикуляр, опущенный из вершины B на биссектрису угла ACD, пересекает прямую CD в точке B1. Докажите, что B1C1 || AD.
Пусть a, b, c – длины сторон произвольного треугольника; p – полупериметр; r – радиус вписанной окружности. Докажите неравенство
Диагонали вписанного четырёхугольника пересекаются в точке . Биссектриса угла пересекает диагональ в точке , а биссектриса угла – диагональ в точке . Докажите, что прямые и пересекаются на медиане треугольника .
Пусть , , – высоты остроугольного треугольника ; – центр вневписанной окружности, соответствующей вершине ; – точка, симметричная относительно прямой . Аналогично построим точки , . Докажите, что прямые , , пересекаются в одной точке.
Биссектрисы , треугольника , в котором , пересекаются в точке . Описанные окружности треугольников , пересекаются в точке . Докажите, что прямая проходит через середину стороны .
Биссектрисы и пересекают описанную окружность треугольника в точках , соответственно. Описанная окружность треугольника пересекает сторону в точке ; аналогично определим . Докажите, что точки , , лежат на одной прямой.
Пусть , , – основания высот остроугольного треугольника . Окружность, вписанная в треугольник , касается сторон в точках . Докажите, что прямые пересекаются в одной точке, лежащей на прямой Эйлера треугольника .
Пусть – высота прямоугольного треугольника . Вневписанная окружность треугольника , противолежащая вершине , касается прямой в точке ; аналогично определяется точка . Докажите, что .
Окружность, вписанная в треугольник , касается его сторон , , в точках , , соответственно. Пусть – точка, симметричная относительно прямой ; аналогично определяется точка . Прямые и пересекаются в точке . Докажите, что .
Диагонали вписанного четырехугольника пересекаются в точке . Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная , пересекает прямую в точке ; аналогично определяется точка . Докажите, что касательная, проведенная в точке к описанной окружности треугольника , параллельна прямой .
Пусть , , – высоты остроугольного треугольника ; – точка касания вписанной окружности треугольника со стороной ; аналогично определяются точки , . Докажите, что прямые , , пересекаются в одной точке.
В треугольнике , – высота; – биссектрисы углов соответственно; – середины отрезков и соответственно. Докажите, что прямые и пересекаются на биссектрисе угла .
Высоты , остроугольного треугольника пересекаются в точке ; – середина стороны . Прямая, проходящая через вершину параллельно , пересекает прямые , в точках , соответственно. Докажите, что прямые , , пересекаются в одной точке.
Cерединный перпендикуляр к стороне треугольника пересекает прямые , в точках и соответственно. Точки , – центры описанных окружностей треугольников и соответственно. Докажите, что .
Биссектрисы треугольника пересекаются в точке . Серединный перпендикуляр к отрезку пересекает прямые , в точках , . Докажите, что описанные окружности треугольников и касаются.
Пусть , , – высоты треугольника ; , – точки пересечения описанной окружности треугольника с прямыми и соответственно. Докажите, что прямые и пересекаются на медиане треугольника или параллельны ей.
Окружность проходит через центр окружности и пересекает ее в точках и . Окружность с центром в точке и радиусом пересекает повторно окружности и в точках и (отличных от ). Докажите, что точки , , лежат на одной прямой.
Высоты , остроугольного треугольника пересекают внутреннюю биссектрису угла в точках , , а внешнюю в точках , . Докажите, что ортоцентры треугольников , и вершина лежат на одной прямой.
Две окружности пересекаются в точках A и B. Пусть CD – их общая касательная (C и D – точки касания), а Oa, Ob – центры описанных окружностей треугольников CAD, CBD соответственно. Докажите, что середина отрезка OaOb лежит на прямой AB.
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Касательная, проведённая к описанной окружности треугольника BOC в точке O, пересекает луч CB в точке F. Описанная окружность треугольника FOD повторно пересекает прямую BC в точке G. Докажите, что AG = AB.
Высоты AA1, CC1 треугольника ABC пересекаются в точке H. HA – точка симметричная H относительно A. HAC1 пересекает прямую BC в точке C'; аналогично определяется точка A'. Докажите, что A'C' || AC.
AA1, BB1, CC1 – высоты треугольника ABC, B0 – точка пересечения BB1 и описанной окружности Ω, Q – вторая точка пересечения Ω и описанной окружности ω треугольника A1C1B0. Докажите, что BQ – симедиана треугольника ABC.