Задача № 215900
Дан правильный 17-угольник A1... A17. Докажите, что треугольники, образованные прямыми A1A4, A2A10, A13A14 и A2A3, A4A6, A14A15, равны.
Белухов Н. — олимпиадные задачи по математике - сложность 4 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 167225
В треугольнике проведена медиана и на ней выбрана точка . Касательные, проведенные к описанной окружности треугольника в точках и , пересекаются в точке . Докажите, что параллельно , где – точка, изогонально сопряжённая точке относительно треугольника .
Задача № 166956
Отображение ставит в соответствие каждому невырожденному треугольнику на плоскости окружность ненулевого радиуса, причем выполняются следующие условия: – Если произвольное подобие переводит треугольник в , то переводит окружность в . – Для любых четырех точек общего положения , , , окружности , , и имеют общую точку. Докажите, что для любого треугольника окружность совпадает с окружностью девяти точек треугольника .
Задача № 166954
Пусть – медиана неравнобедренного треугольника , – точка касания вписанной окружности со стороной , – вторая точка пересечения с отрезком . Докажите, что вписанная окружность треугольника , образованного прямыми , и касательной к в точке , касается описанной окружности треугольника .
Задача № 166935
Назовем почти выпуклым несамопересекающийся многоугольник, у которого ровно один внутренний угол больше . На плоскости даны точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Может ли оказаться, что существует ровно десять различных почти выпуклых -угольников с вершинами в этих точках?
Задача № 166685
На плоскости дано конечное множество точек, окрашенных в красный и зеленый цвета. Назовем множестворазделимым, если для него найдется такой треугольник, что все точки одного цвета лежат строго внутри, а все точки другого – строго вне треугольника. Известно, что любые 1000 точек из образуют разделимое множество. Обязательно ли все множество разделимо?
Задача № 166663
Шесть кругов с радиусами, равными 1, расположены на плоскости так, что расстояние между центрами любых двух из них больше . При каком наименьшем можно утверждать, что найдется прямая, не пересекающая ни одного из кругов, по каждую сторону от которой лежат три круга?
Задача № 166590
Пусть и – взаимно простые натуральные числа. Лягушка прыгает по числовой прямой, начиная в точке , каждый раз либо на вправо, либо на влево. Однажды лягушка вернулась в . Докажите, что для любого натурального найдутся два числа, посещенные лягушкой и отличающиеся на .
Задача № 166567
Для каких можно закрасить на белой клетчатой плоскости несколько клеток (конечное число, большее нуля) в черный цвет так, чтобы на любой клетчатой вертикали, горизонтали и диагонали либо было ровно черных клеток, либо вовсе не было черных клеток?
Задача № 166263
Есть 101 жук, среди которых некоторые являются друзьями. Известно, что любые 100 жуков могут расположиться на плоскости так, что каждые два из них будут друзьями тогда и только тогда, когда расстояние между ними равно 1. Верно ли, что все жуки тоже могут расположиться таким же образом?
Задача № 165051
Три равных правильных тетраэдра имеют общий центр. Могут ли все грани многогранника, являющегося их пересечением, быть равны?
Задача № 165049
Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая BC, CA и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно. Точка A' – середина отрезка, соединяющего проекции A1 на AB и AC. Аналогично определяются точки B' и C'. а) Докажите, что A', B' и C' лежат на некоторой прямой l'. б) Докажите, что, если l проходит через центр описанной окружности треугольника ABC, то l' проходит через центр его окружности девяти точек.
Задача № 165046
Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Точки M и N – середины диагоналей AC и BD. Докажите, что четырёхугольник ABCD – вписанный тогда и только тогда, когда IM : AC = IN : BD.
Задача № 165024
Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Известно, что AB·CF = 2BC·FA, CD·EB = 2DE·BC, EF·AD = 2FA·DE. Докажите, что прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке.
Задача № 164883
Дан четырёхугольник KLMN. Окружность с центром O пересекает его сторону KL в точках A и A1, сторону LM в точках B и B1, и т.д. Докажите что а) если описанные окружности треугольников KDA, LAB, MBC и NCD пересекаются в одной точке P, то описанные окружности треугольников KD1A1, LA1B1, MB1C1 и NC1D1 также пересекаются в одной точке Q; б) точка O лежит на серединном перпендикуляре к PQ.
Задача № 164862
Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Внутри треугольника BCD взяли точку La, расстояния от которой до сторон треугольника пропорциональны этим сторонам. Аналогично внутри треугольников ACD, ABD, ABC взяли точки Lb, Lc и Ld соответственно. Оказалось, что четырёхугольник LaLbLcLd вписанный. Докажите, что у ABCD есть две параллельные стороны.
Задача № 164811
Выпуклый фанерный многоугольник P лежит на деревянном столе. В стол можно вбивать гвозди, которые не должны проходить через P, но могут касаться его границы. Фиксирующим называется набор гвоздей, не позволяющий двигать P по столу. Найдите минимальное количество гвоздей, позволяющее зафиксировать любой выпуклый многоугольник.
Задача № 164749
Вокруг треугольника ABC описали окружность k. На сторонах треугольника отметили три точки A1, B1 и C1, после чего сам треугольник стёрли. Докажите, что его можно однозначно восстановить тогда и только тогда, когда прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
Задача № 164740
В треугольнике ABC ALa и AMa – внутренняя и внешняя биссектрисы угла A. Пусть ωa – окружность, симметричная описанной окружности Ωa треугольника ALaMa относительно середины BC. Окружность ωb определена аналогично. Докажите, что ωa и ωb касаются тогда и только тогда, когда треугольник ABC прямоугольный.
Задача № 164404
Дан бумажный треугольник, площадь которого равна ½, а квадраты всех сторон – целые числа. Докажите, что в него можно завернуть квадрат с площадью ¼ (треугольник можно сгибать, но нельзя резать).
Задача № 164396
Дан треугольник ABC и такая точка F, что ∠AFB = ∠BFC = ∠CFA. Прямая, проходящая через F и перпендикулярная BC, пересекает медиану, проведённую из вершины A, в точке A1. Точки B1 и C1 определяются аналогично. Докажите, что A1, B1 и C1 являются тремя вершинами правильного шестиугольника, три другие вершины которого лежат на сторонах треугольника ABC.