Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Даны треугольник XYZ и выпуклый шестиугольник ABCDEF. Стороны AB, CD и EF параллельны и равны соответственно сторонам XY, YZ и ZX. Докажите, что площадь треугольника с вершинами в серединах сторон BC, DE и FA не меньше площади треугольника XYZ.
Дан правильный 17-угольник A1... A17. Докажите, что треугольники, образованные прямыми A1A4, A2A10, A13A14 и A2A3, A4A6, A14A15, равны.
Вписанная и вневписанная окружности треугольника ABC касаются стороны BC в точках M и N. Известно, что ∠BAC = 2∠MAN. Докажите, что BC = 2MN.
В треугольнике ABC ∠A = 57
В треугольнике проведена медиана и на ней выбрана точка . Касательные, проведенные к описанной окружности треугольника в точках и , пересекаются в точке . Докажите, что параллельно , где – точка, изогонально сопряжённая точке относительно треугольника .
Даны выпуклый многоугольник и простое число . Оказалось, что существует ровно способов разбить на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1. Докажите, что длина одной из сторон многоугольника равна – 1.
Отображение ставит в соответствие каждому невырожденному треугольнику на плоскости окружность ненулевого радиуса, причем выполняются следующие условия: – Если произвольное подобие переводит треугольник в , то переводит окружность в . – Для любых четырех точек общего положения , , , окружности , , и имеют общую точку. Докажите, что для любого треугольника окружность совпадает с окружностью девяти точек треугольника .
Пусть – медиана неравнобедренного треугольника , – точка касания вписанной окружности со стороной , – вторая точка пересечения с отрезком . Докажите, что вписанная окружность треугольника , образованного прямыми , и касательной к в точке , касается описанной окружности треугольника .
Назовем почти выпуклым несамопересекающийся многоугольник, у которого ровно один внутренний угол больше . На плоскости даны точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Может ли оказаться, что существует ровно десять различных почти выпуклых -угольников с вершинами в этих точках?
Для каких можно закрасить на белой клетчатой плоскости несколько (конечное число, большее нуля) клеток в чёрный цвет так, чтобы на любой клетчатой вертикали, горизонтали и диагонали либо было ровно чёрных клеток, либо вовсе не было чёрных клеток?
Любые три последовательные вершины невыпуклого многоугольника образуют прямоугольный треугольник. Обязательно ли у многоугольника найдется угол, равный или градусам?
Найдите наименьшее натуральное такое, что в любом выпуклом -угольнике сумма длин любых диагоналей не меньше суммы длин остальных диагоналей.
Четырехугольник без равных и без параллельных сторон описан около окружности с центром . Точки , , и – середины сторон , , и . Известно, что . Докажите, что .
В некотором государстве сложение и вычитание обозначаются знаками "!" и "?", но вам неизвестно, какой знак какой операции соответствует. Каждая операция применяется к двум числам, но про вычитание вам неизвестно, вычитается левое число из правого или правое из левого. К примеру, выражение обозначает одно из следующих: или . Вам неизвестно, как записываются числа в этом государстве, но переменные и скобки есть и используются как обычно. Объясните, как с помощью них и знаков "!", "?" записать выражение, которое гарантированно равно .
Четырехугольник описан вокруг окружности радиуса . Найдите наибольшее возможное значение величины .
На плоскости дано конечное множество точек, окрашенных в красный и зеленый цвета. Назовем множестворазделимым, если для него найдется такой треугольник, что все точки одного цвета лежат строго внутри, а все точки другого – строго вне треугольника. Известно, что любые 1000 точек из образуют разделимое множество. Обязательно ли все множество разделимо?
Правильный -угольник со стороной 1 вращается вокруг другого такого же -угольника, как показано на рисунке. Последовательные положения одной из его вершин в моменты, когда -угольники имеют общую сторону, образуют замкнутую ломаную . Докажите, что ограничивает площадь, равную , где , – площади правильных -угольников с единичными стороной и радиусом описанной окружности соответственно.
Вершины треугольника лежат на разных сторонах треугольника . Касательные, проведенные из центра вписанной в треугольник окружности к вневписанным окружностям треугольника , равны. Докажите, что .
Шесть кругов с радиусами, равными 1, расположены на плоскости так, что расстояние между центрами любых двух из них больше . При каком наименьшем можно утверждать, что найдется прямая, не пересекающая ни одного из кругов, по каждую сторону от которой лежат три круга?
Пусть и – взаимно простые натуральные числа. Лягушка прыгает по числовой прямой, начиная в точке , каждый раз либо на вправо, либо на влево. Однажды лягушка вернулась в . Докажите, что для любого натурального найдутся два числа, посещенные лягушкой и отличающиеся на .
Для каких можно закрасить на белой клетчатой плоскости несколько клеток (конечное число, большее нуля) в черный цвет так, чтобы на любой клетчатой вертикали, горизонтали и диагонали либо было ровно черных клеток, либо вовсе не было черных клеток?
Дьявол предлагает Человеку сыграть в следующую игру. Сначала Человек платит некоторую сумму s и называет 97 троек {i, j, k}, где i, j, k – натуральные числа, не превосходящие 100. Затем Дьявол рисует выпуклый 100-угольник A1A2...A100 с площадью, равной 100, и выплачивает Человеку выигрыш, равный сумме площадей 97 треугольников AiAjAk. При каком наибольшем s Человеку выгодно согласиться?
Есть 101 жук, среди которых некоторые являются друзьями. Известно, что любые 100 жуков могут расположиться на плоскости так, что каждые два из них будут друзьями тогда и только тогда, когда расстояние между ними равно 1. Верно ли, что все жуки тоже могут расположиться таким же образом?
Можно ли разрезать правильный десятиугольник по нескольким диагоналям и сложить из получившихся кусков два правильных многоугольника?
Выпуклый шестиугольник A1A2...A6 описан около окружности ω радиуса 1. Рассмотрим три отрезка, соединяющие середины противоположных сторон шестиугольника. Для какого наибольшего r можно утверждать, что хотя бы один из этих отрезков не короче r?