Задача № 216421
Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Точки M и N – середины сторон AB и CD. Известно, что IM : AB = IN : CD. Докажите, что ABCD – трапеция или параллелограмм.
Белухов Н. — олимпиадные задачи по математике
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216403
Даны треугольник XYZ и выпуклый шестиугольник ABCDEF. Стороны AB, CD и EF параллельны и равны соответственно сторонам XY, YZ и ZX. Докажите, что площадь треугольника с вершинами в серединах сторон BC, DE и FA не меньше площади треугольника XYZ.
Задача № 215900
Дан правильный 17-угольник A1... A17. Докажите, что треугольники, образованные прямыми A1A4, A2A10, A13A14 и A2A3, A4A6, A14A15, равны.
Задача № 215896
Вписанная и вневписанная окружности треугольника ABC касаются стороны BC в точках M и N. Известно, что ∠BAC = 2∠MAN. Докажите, что BC = 2MN.
Задача № 215892
В треугольнике ABC ∠A = 57
Задача № 167225
В треугольнике проведена медиана и на ней выбрана точка . Касательные, проведенные к описанной окружности треугольника в точках и , пересекаются в точке . Докажите, что параллельно , где – точка, изогонально сопряжённая точке относительно треугольника .
Задача № 167023
Даны выпуклый многоугольник и простое число . Оказалось, что существует ровно способов разбить на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1. Докажите, что длина одной из сторон многоугольника равна – 1.
Задача № 166956
Отображение ставит в соответствие каждому невырожденному треугольнику на плоскости окружность ненулевого радиуса, причем выполняются следующие условия: – Если произвольное подобие переводит треугольник в , то переводит окружность в . – Для любых четырех точек общего положения , , , окружности , , и имеют общую точку. Докажите, что для любого треугольника окружность совпадает с окружностью девяти точек треугольника .
Задача № 166954
Пусть – медиана неравнобедренного треугольника , – точка касания вписанной окружности со стороной , – вторая точка пересечения с отрезком . Докажите, что вписанная окружность треугольника , образованного прямыми , и касательной к в точке , касается описанной окружности треугольника .
Задача № 166935
Назовем почти выпуклым несамопересекающийся многоугольник, у которого ровно один внутренний угол больше . На плоскости даны точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Может ли оказаться, что существует ровно десять различных почти выпуклых -угольников с вершинами в этих точках?
Задача № 166888
Белая фигура «жук» стоит в угловой клетке доски , где — нечётное натуральное число, большее . В двух ближайших к ней углах доски стоят два чёрных шахматных слона. При каждом ходе жук или переходит на клетку, соседнюю по стороне, или ходит как шахматный конь. Жук хочет достичь противоположного угла доски, не проходя через клетки, занятые или атакованные слоном, и побывав на каждой из остальных клеток ровно по одному разу. Покажите, что количество путей, по которым может пройти жук, не зависит от .
Задача № 166864
Для каких можно закрасить на белой клетчатой плоскости несколько (конечное число, большее нуля) клеток в чёрный цвет так, чтобы на любой клетчатой вертикали, горизонтали и диагонали либо было ровно чёрных клеток, либо вовсе не было чёрных клеток?
Задача № 166806
Любые три последовательные вершины невыпуклого многоугольника образуют прямоугольный треугольник. Обязательно ли у многоугольника найдется угол, равный или градусам?
Задача № 166800
Найдите наименьшее натуральное такое, что в любом выпуклом -угольнике сумма длин любых диагоналей не меньше суммы длин остальных диагоналей.
Задача № 166792
Даны два единичных куба с общим центром. Всегда ли можно занумеровать вершины каждого из кубов от до так, чтобы расстояние между любыми двумя вершинами с одинаковыми номерами не превышало ? А чтобы не превышало ?
Задача № 166786
Четырехугольник без равных и без параллельных сторон описан около окружности с центром . Точки , , и – середины сторон , , и . Известно, что . Докажите, что .
Задача № 166707
В некотором государстве сложение и вычитание обозначаются знаками "!" и "?", но вам неизвестно, какой знак какой операции соответствует. Каждая операция применяется к двум числам, но про вычитание вам неизвестно, вычитается левое число из правого или правое из левого. К примеру, выражение обозначает одно из следующих: или . Вам неизвестно, как записываются числа в этом государстве, но переменные и скобки есть и используются как обычно. Объясните, как с помощью них и знаков "!", "?" записать выражение, которое гарантированно равно .
Задача № 166688
Четырехугольник описан вокруг окружности радиуса . Найдите наибольшее возможное значение величины .
Задача № 166685
На плоскости дано конечное множество точек, окрашенных в красный и зеленый цвета. Назовем множестворазделимым, если для него найдется такой треугольник, что все точки одного цвета лежат строго внутри, а все точки другого – строго вне треугольника. Известно, что любые 1000 точек из образуют разделимое множество. Обязательно ли все множество разделимо?
Задача № 166681
Правильный -угольник со стороной 1 вращается вокруг другого такого же -угольника, как показано на рисунке. Последовательные положения одной из его вершин в моменты, когда -угольники имеют общую сторону, образуют замкнутую ломаную . Докажите, что ограничивает площадь, равную , где , – площади правильных -угольников с единичными стороной и радиусом описанной окружности соответственно.
Задача № 166676
Вершины треугольника лежат на разных сторонах треугольника . Касательные, проведенные из центра вписанной в треугольник окружности к вневписанным окружностям треугольника , равны. Докажите, что .
Задача № 166663
Шесть кругов с радиусами, равными 1, расположены на плоскости так, что расстояние между центрами любых двух из них больше . При каком наименьшем можно утверждать, что найдется прямая, не пересекающая ни одного из кругов, по каждую сторону от которой лежат три круга?
Задача № 166590
Пусть и – взаимно простые натуральные числа. Лягушка прыгает по числовой прямой, начиная в точке , каждый раз либо на вправо, либо на влево. Однажды лягушка вернулась в . Докажите, что для любого натурального найдутся два числа, посещенные лягушкой и отличающиеся на .
Задача № 166567
Для каких можно закрасить на белой клетчатой плоскости несколько клеток (конечное число, большее нуля) в черный цвет так, чтобы на любой клетчатой вертикали, горизонтали и диагонали либо было ровно черных клеток, либо вовсе не было черных клеток?
Задача № 166470
В некотором государстве сложение и вычитание обозначаются знаками "!" и "?", но вам неизвестно, какой знак какой операции соответствует. Каждая операция применяется к двум числам, но про вычитание вам неизвестно, вычитается левое число из правого или правое из левого. К примеру, выражение a?b обозначает одно из следующих: a – b, b – a или a + b. Вам неизвестно, как записываются числа в этом государстве, но переменные a, b и скобки есть и используются как обычно. Объясните, как с помощью них и знаков "!" и "?" записать выражение, которое гарантированно равно 20a – 18b.
1–25 из 44