Задача № 215900
Дан правильный 17-угольник A1... A17. Докажите, что треугольники, образованные прямыми A1A4, A2A10, A13A14 и A2A3, A4A6, A14A15, равны.
Белухов Н. — олимпиадные задачи по математике для 5-8 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 215896
Вписанная и вневписанная окружности треугольника ABC касаются стороны BC в точках M и N. Известно, что ∠BAC = 2∠MAN. Докажите, что BC = 2MN.
Задача № 215892
В треугольнике ABC ∠A = 57
Задача № 166888
Белая фигура «жук» стоит в угловой клетке доски , где — нечётное натуральное число, большее . В двух ближайших к ней углах доски стоят два чёрных шахматных слона. При каждом ходе жук или переходит на клетку, соседнюю по стороне, или ходит как шахматный конь. Жук хочет достичь противоположного угла доски, не проходя через клетки, занятые или атакованные слоном, и побывав на каждой из остальных клеток ровно по одному разу. Покажите, что количество путей, по которым может пройти жук, не зависит от .
Задача № 166864
Для каких можно закрасить на белой клетчатой плоскости несколько (конечное число, большее нуля) клеток в чёрный цвет так, чтобы на любой клетчатой вертикали, горизонтали и диагонали либо было ровно чёрных клеток, либо вовсе не было чёрных клеток?
Задача № 166800
Найдите наименьшее натуральное такое, что в любом выпуклом -угольнике сумма длин любых диагоналей не меньше суммы длин остальных диагоналей.
Задача № 166707
В некотором государстве сложение и вычитание обозначаются знаками "!" и "?", но вам неизвестно, какой знак какой операции соответствует. Каждая операция применяется к двум числам, но про вычитание вам неизвестно, вычитается левое число из правого или правое из левого. К примеру, выражение обозначает одно из следующих: или . Вам неизвестно, как записываются числа в этом государстве, но переменные и скобки есть и используются как обычно. Объясните, как с помощью них и знаков "!", "?" записать выражение, которое гарантированно равно .
Задача № 166681
Правильный -угольник со стороной 1 вращается вокруг другого такого же -угольника, как показано на рисунке. Последовательные положения одной из его вершин в моменты, когда -угольники имеют общую сторону, образуют замкнутую ломаную . Докажите, что ограничивает площадь, равную , где , – площади правильных -угольников с единичными стороной и радиусом описанной окружности соответственно.
Задача № 166676
Вершины треугольника лежат на разных сторонах треугольника . Касательные, проведенные из центра вписанной в треугольник окружности к вневписанным окружностям треугольника , равны. Докажите, что .
Задача № 166470
В некотором государстве сложение и вычитание обозначаются знаками "!" и "?", но вам неизвестно, какой знак какой операции соответствует. Каждая операция применяется к двум числам, но про вычитание вам неизвестно, вычитается левое число из правого или правое из левого. К примеру, выражение a?b обозначает одно из следующих: a – b, b – a или a + b. Вам неизвестно, как записываются числа в этом государстве, но переменные a, b и скобки есть и используются как обычно. Объясните, как с помощью них и знаков "!" и "?" записать выражение, которое гарантированно равно 20a – 18b.
Задача № 166271
Дьявол предлагает Человеку сыграть в следующую игру. Сначала Человек платит некоторую сумму s и называет 97 троек {i, j, k}, где i, j, k – натуральные числа, не превосходящие 100. Затем Дьявол рисует выпуклый 100-угольник A1A2...A100 с площадью, равной 100, и выплачивает Человеку выигрыш, равный сумме площадей 97 треугольников AiAjAk. При каком наибольшем s Человеку выгодно согласиться?
Задача № 166255
Можно ли разрезать правильный десятиугольник по нескольким диагоналям и сложить из получившихся кусков два правильных многоугольника?
Задача № 165363
Докажите, что любой выпуклый четырёхугольник можно разрезать на пять многоугольников, каждый из которых имеет ось симметрии.
Задача № 164396
Дан треугольник ABC и такая точка F, что ∠AFB = ∠BFC = ∠CFA. Прямая, проходящая через F и перпендикулярная BC, пересекает медиану, проведённую из вершины A, в точке A1. Точки B1 и C1 определяются аналогично. Докажите, что A1, B1 и C1 являются тремя вершинами правильного шестиугольника, три другие вершины которого лежат на сторонах треугольника ABC.