Задача № 167348
Разность двух углов треугольника больше . Докажите, что отношение радиусов его описанной и вписанной окружностей больше 4.
Панов М.Ю. — олимпиадные задачи по математике для 11 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 167007
Пусть — некоторая фиксированная точка на стороне треугольника ( отлична от и ). Произвольная окружность, проходящая через и , пересекает отрезок и описанную окружность треугольника в точках и , отличных от и . Докажите, что все возможные прямые проходят через одну точку.
Задача № 166329
В треугольнике провели биссектрису . Серединный перпендикуляр к стороне пересекает отрезок в точке . Докажите, что описанные окружности треугольников и касаются.
Задача № 165231
Прямая l перпендикулярна одной из медиан треугольника. Серединные перпендикуляры к сторонам этого треугольника пересекают прямую l в трёх точках. Докажите, что одна из них является серединой отрезка, образованного двумя оставшимися.