Задача № 198136
По окружности выписано 10 чисел, их сумма равна 100. Известно, что сумма каждой тройки чисел, стоящих подряд, не меньше 29. Укажите такое наименьшее число A, что в любом таком наборе чисел каждое из чисел не превышает A.
Толпыго А.К. — олимпиадные задачи по математике
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 198126
Окружность разбита на семь дуг так, что сумма каждых двух соседних дуг не превышает 103°. Назовите такое наибольшее число A, что при любом таком разбиении каждая из семи дуг содержит не меньше A°.
Задача № 198113
В лес за грибами пошли 11 девочек и n мальчиков. Вместе они собрали n² + 9n – 2 гриба, причём все они собрали поровну грибов. Кого было больше: мальчиков или девочек?
Задача № 198110
Дан выпуклый восьмиугольник ABCDEFGH, у которого все внутренние углы равны между собой, а стороны равны через одну – AB = CD = EF = GH, BC = DE = FG = HA (будем называть такой восьмиугольник полуправильным). Проводим диагонали AD, BE, CF, DG, EH, FA, GB и HC. Среди частей, на которые эти диагонали разбивают внутреннюю область восьмиугольника, рассмотрим ту, которая содержит его центр. Если эта часть – восьмиугольник, он снова является полуправильным (это очевидно); в этом случае в нём проводим аналогичные диагонали, и т. д. Если на каком-то шагу центральная фигура не является восьмиугольником,...
Задача № 198105
В некотором королевстве было 32 рыцаря. Некоторые из них были вассалами других (вассал может иметь только одного сюзерена, причём сюзерен всегда богаче своего вассала). Рыцарь, имевший не менее четырёх вассалов, носил титул барона. Какое наибольшее число баронов могло быть при этих условиях? (В королевстве действовал закон: "вассал моего вассала – не мой вассал".)
Задача № 198102
На шахматной доске 4×4 расположена фигура – "летучая ладья", которая ходит так же, как обычная ладья, но не может за один ход стать на поле, соседнее с предыдущим. Может ли она за 16 ходов обойти всю доску, становясь на каждое поле по разу, и вернуться на исходное поле?
Задача № 198038
Натуральный ряд представлен в виде объединения некоторого множества попарно непересекающихся целочисленных бесконечных арифметических прогрессий с положительными разностями d1, d2, d3, ... . Может ли случиться, что при этом сумма 1/d1 + 1/d2 + ... + 1/dk не превышает 0,9? Рассмотрите случаи: а) общее число прогрессий конечно; б) прогрессий бесконечное число (в этом случае условие нужно понимать в том смысле, что сумма любого конечного числа слагаемых из бесконечной суммы не превышает 0,9).
Задача № 197885
Игра в "супершахматы" ведётся на доске размером 30×30, и в ней участвуют 20 разных фигур, каждая из которых ходит по своим правилам. Известно, однако, что 1) любая фигура с любого поля бьёт не более 20 полей и 2) если фигуру сдвинуть на несколько полей, то битые поля соответственно сдвигаются (может быть, исчезают за пределы поля). Докажите, что а) любая фигура F бьёт данное поле Х не более, чем с 20 полей; б) можно расставить на доске все 20 фигур так, чтобы ни одна из них не била другую.
Задача № 197763
В пространстве имеются 30 ненулевых векторов. Доказать, что среди них найдутся два, угол между которыми меньше 45°.
Задача № 178759
Доказать, что если натуральное число k делится на 10101010101, то в его десятичной записи по крайней мере шесть цифр отличны от нуля.
Задача № 173680
Хозяин обещает работнику платить в среднем рублей в день. Для этого каждый день он платит 1 или 2 рубля с таким расчётом, чтобы для любого натурального n выплаченная за первые n дней сумма была натуральным числом, наиболее близким к Вот величины первых пяти выплат: 1, 2, 1, 2, 1. Докажите, что последовательность выплат непериодическая.
Задача № 173675
С натуральным числом (записываемым в десятичной системе) разрешено проделывать следующие операции:А) приписать на конце цифру 4; Б) приписать на конце цифру 0; В) разделить на 2 (если число чётно). Например, если с числом 4 проделаем последовательно операции В, В, А и Б, то получим число 140. а) Из числа 4 получите число 1972. б)* Докажите, что из числа 4 можно получить любое натуральное число.
Задача № 173595
Рассмотрим все натуральные числа, в десятичной записи которых участвуют лишь цифры 1 и 0. Разбейте эти числа на два непересекающихся подмножества так, чтобы сумма любых двух различных чисел из одного и того же подмножества содержала в своей десятичной записи не менее двух единиц.
Задача № 173594
При каких n гири массами 1 г, 2 г, 3 г, ..., n г можно разложить на три равные по массе кучки?
Задача № 173592
a) Найдите числоk, которое делится на 2 и на 9 и имеет всего 14 делителей (включая 1 иk). б) Докажите, что если заменить 14 на 15, то задача будет иметь несколько решений, а при замене 14 на 17 решений вообще не будет.
Задача № 167513
Существует ли такое положительное число , что (Здесь — дробная часть числа , то есть разность между и ближайшим целым числом, не превосходящим .)
Задача № 167507
Учитель назвал две различные ненулевые цифры. Коля хочет составить делящееся на семизначное число, в десятичной записи которого нет других цифр, кроме этих двух. Всегда ли Коля может это сделать, какие бы две цифры ни назвал учитель?
Задача № 167394
На асфальте нарисована полоса для игры в «классики». Из центра первого квадрата надо сделать 9 прыжков по центрам квадратов (иногда вперёд, иногда назад) так, чтобы побывать в каждом квадрате по одному разу и закончить маршрут в последнем квадрате. Аня и Варя обе прошли полосу, и каждый очередной прыжок Ани был на то же расстояние, что и очередной прыжок Вари. Обязательно ли они пропрыгали квадраты в одном и том же порядке?
Задача № 167276
Существует ли число, которое может быть представлено в виде , где и натуральные, не менее чем ста способами? Ответ объясните.
Задача № 167263
Даны пять точек, расстояние между любыми двумя из них больше 2. Верно ли, что расстояние между какими-то двумя из них больше 3, если эти 5 точек расположены a) на плоскости; б) в пространстве?
Задача № 167260
Дано натуральное число . Для произвольного числа рассмотрим сумму Найдите разность . (Здесь обозначает целую часть числа , то есть наибольшее целое число, не превосходящее .)
Задача № 167257
Для произвольного числа рассмотрим сумму Найдите разность . (Здесь обозначает целую часть числа , то есть наибольшее целое число, не превосходящее .)
Задача № 167073
Для каждого из девяти натуральных чисел выписали на доску первую слева цифру в его десятичной записи. При этом выбрали так, чтобы среди девяти выписанных цифр количество различных цифр было как можно меньше. Чему равно это количество?
Задача № 167018
У каждого из девяти натуральных чисел выписали первую слева цифру. Может ли при некотором натуральном среди девяти выписанных цифр быть не более четырёх различных?
Задача № 167009
Имеется натуральное 1001-значное число . 1001-значное число – то же число , записанное от конца к началу (например, для четырёхзначных чисел это могли быть 7432 и 2347). Известно, что . При каком частное будет наименьшим (но строго больше 1)?
26–50 из 70