Задача № 216424
В треугольнике ABC точка M – середина стороны AC, точка P лежит на стороне BC. Отрезок AP пересекает BM в точке O. Оказалось, что BO = BP. Найдите отношение OM : PC.
Волчкевич М.А. — олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216212
Точки M и N – середины боковых сторон AB и CD трапеции ABCD. Перпендикуляр, опущенный из точки M на диагональ AC, и перпендикуляр, опущенный из точки N на диагональ BD, пересекаются в точке P. Докажите, что PA = PD.
Задача № 216198
Hа сторонах AB, BC и AC треугольника ABC выбраны точки C', A' и B' соответственно так, что угол A'C'B' — прямой. Докажите, что отрезок A'B' длиннее диаметра вписанной окружности треугольника ABC.
Задача № 216138
Дан четырёхугольник ABCD. A', B', C' и D' – середины сторон BC, CD, DA и AB соответственно. Известно, что AA' = CC' и BB' = DD'. Bерно ли, что ABCD – параллелограмм?
Задача № 216074
На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки M и K соответственно так, что SKMC + SKAC = SABC. Докажите, что все такие прямые MK проходят через одну точку.
Задача № 215505
Дана трапеция ABCD с основаниями AD = a и BC = b. Точки M и N лежат на сторонах AB и CD соответственно, причём отрезок MN параллелен основаниям трапеции. Диагональ AC пересекает этот отрезок в точке O. Найдите MN, если известно, что площади треугольников AMO и CNO равны.
Задача № 207825
В ромбе ABCD величина угла B равна 40°, E – середина BC, F – основание перпендикуляра, опущенного из A на DE. Найдите величину угла DFC.
Задача № 198337
В параллелограмме ABCD точка E – середина AD. Точка F – основание перпендикуляра, опущенного из B на прямую CE. Докажите, что треугольник ABF – равнобедренный.
Задача № 167391
На стороне треугольника отметили точку так, что . Из точек и на сторону опустили перпендикуляры и (см. рис.). вдвое больше . Угол равен градусам. Найдите угол .
Задача № 166993
В четырёхугольнике известно, что , и . Чему могут быть равны углы и ?
Задача № 166797
На клетчатой бумаге нарисовали треугольник, один из углов которого равен (см.рис.). Найдите значения остальных углов.
Задача № 166666
В прямоугольном треугольнике () вписанная окружность касается катета в точке . Докажите, что хорда вписанной окружности, высекаемая прямой в два раза больше, чем расстояние от вершины до этой прямой.
Задача № 166527
Три стороны четырёхугольника равны, а углы четырёхугольника, образованные этими сторонами, равны 90° и 150°. Найдите два других угла этого четырёхугольника.
Задача № 166508
Разрежьте фигуру, показанную на рисунке, на четыре одинаковые части.
Задача № 165643
Окружность с центром O проходит через концы гипотенузы прямоугольного треугольника и пересекает его катеты в точках M и K. Докажите, что расстояние от точки O до прямой MK равно половине гипотенузы.
Задача № 165606
Один угол треугольника равен 60°, а лежащая против этого угла сторона равна трети периметра треугольника. Докажите, что данный треугольник равносторонний.
Задача № 137001
Точки Е и F – середины сторон ВС и AD выпуклого четырёхугольника АВСD. Докажите, что отрезок EF делит диагонали АС и BD в одном и том же отношении.
Задача № 136995
В выпуклом четырехугольнике АВСD точка Е — середина CD, F — середина АD, K — точка пересечения АС и ВЕ. Докажите, что площадь треугольника BKF в два раза меньше площади треугольника АВС.