Меркурьев А.С. — олимпиадные задачи по математике для 8-9 класса - сложность 3 с решениями

Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается стороны <i>AC</i> в точке <i>D</i>, <i>DM</i> — диаметр окружности. Прямая <i>BM</i> пересекает сторону <i>AC</i> в точке <i>K</i>. Докажите, что <i>AK</i> = <i>DC</i>.

В трапеции <i>ABCD</i> с основаниями <i>BC</i> и <i>AD</i> на сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i> выбраны точки <i>K</i> и <i>M</i>. Докажите, что если <!-- MATH $\angle BAM = \angle CDK$ --> $\angle$<i>BAM</i> = $\angle$<i>CDK</i>, то <!-- MATH $\angle BMA = \angle CKD$ --> $\angle$<i>BMA</i> = $\angle$<i>CKD</i>.