Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
В треугольнике ABC провели биссектрису CL. В треугольники CAL и CBL вписали окружности, которые касаются прямой AB в точках M и N соответственно. Затем все, кроме точек A, L, M и N, стерли. С помощью циркуля и линейки восстановите треугольник.
Две окружности с радиусами 1 и 2 имеют общий центр в точке O. Вершина A правильного треугольника ABC лежит на большей окружности, а середина стороны BC – на меньшей. Чему может быть равен угол BOC?
Из вершины B треугольника ABC опущен перпендикуляр BM на биссектрису угла C. Пусть K – точка касания вписанной окружности со стороной BC. Найдите угол MKB, если известно, что ∠BAC = α.
Дан треугольник ABC. Из вершин B и C опущены перпендикуляры BM и CN на биссектрисы углов C и B соответственно. Докажите, что прямая MN пересекает стороны AC и AB в точках их касания с вписанной окружностью.
Верно ли, что при любом n правильный 2n-угольник является проекцией некоторого многогранника, имеющего не более, чем n + 2 грани?
Дан треугольник ABC площади 1. Из вершины B опущен перпендикуляр BM на биссектрису угла C. Найдите площадь треугольника AMC.
В угол A, равный α, вписана окружность, касающаяся его сторон в точках B и C. Прямая, касающаяся окружности в некоторой точке M, пересекает отрезки AB и AC в точках Р и Q соответственно. При каких α может быть выполнено неравенство SPAQ < SBMC?
На сторонах угла взяты точки A, B. Через середину M отрезка AB проведены две прямые, одна из которых пересекает стороны угла в точках A1, B1, другая – в точках A2 , B2. Прямые A1B2 и A2B1 пересекают AB в точках P и Q. Докажите, что M – середина PQ.
Дана окружность и точка К внутри неё. Произвольная окружность, равная данной и проходящая через точку К, имеет с данной окружностью общую хорду. Найдите геометрическое место середин этих хорд.
Дана окружность, точка A на ней и точка M внутри нее. Рассматриваются хорды BC , проходящие через M . Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон всех треугольников ABC , касаются некоторой фиксированной окружности.
Дана окружность радиуса R. Две другие окружности, сумма радиусов которых также равна R, касаются её изнутри. Докажите, что прямая, соединяющая точки касания, проходит через одну из общих точек этих окружностей.
Дан параллелограмм ABCD. Две окружности с центрами в вершинах A и C проходят через D. Прямая l проходит через D и вторично пересекает окружности в точках X, Y. Докажите, что BX = BY.
Точки A', B', C' – основания высот остроугольного треугольника ABC. Окружность с центром B и радиусом BB' пересекает прямую A'C' в точках K и L (точки K и A лежат по одну сторону от BB'). Докажите, что точка пересечения прямых AK и CL лежит на прямой BO, где O – центр описанной окружности треугольника ABC.
На плоскости дан угол и точка К внутри него. Доказать, что найдётся точка М, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через К, пересекает стороны угла в точках А и В, то МК является биссектрисой угла АМВ.
Дан треугольник ABC. Две прямые, симметричные прямой AC относительно прямых AB и BC соответственно, пересекаются в точке K. Докажите, что прямая BK проходит через центр O описанной около треугольника ABC окружности.
Найдите все положительные числа x1, x2, ..., x10, удовлетворяющие при всех k = 1, 2,..., 10 условию (x1 + ... + xk)(xk + ... + x10) = 1.
Корабль в тумане пытается пристать к берегу. Экипаж не знает, в какой стороне находится берег, но видит маяк, находящийся на маленьком острове в км от берега, и понимает, что расстояние от корабля до маяка не превышает км (точное расстояние до маяка неизвестно). Маяк окружен рифами, поэтому приближаться к нему нельзя. Может ли корабль достичь берега, проплыв не больше км? (Береговая линия – прямая, траектория до начала движения вычерчивается на дисплее компьютера, после чего автопилот ведет корабль по ней.)
Внутри прямого угла с вершиной расположен треугольник с прямым углом . Высота треугольника , опущенная на гипотенузу, продолжена за точку до пересечения со стороной угла в точке . Расстояния от точек и до второй стороны угла равны и соответственно. Найдите .
В точке X сидит преступник, а три полицейских, находящихся в точках A, B и C, блокируют его, то есть точка X лежит внутри треугольника ABC. Новый полицейский сменяет одного из них следующим образом: он занимает точку, равноудаленную от всех трёх полицейских, после чего один из троих уходит, и оставшаяся тройка по-прежнему блокирует преступника. Так происходит каждый вечер. Может ли случиться, что через какое-то время полицейские вновь займут точки A, B и C (известно, что точка X ни разу не попала на сторону треугольника)?
На плоскости даны три прямые l1, l2, l3, образующие треугольник, и отмечена точка O – центр описанной окружности этого треугольника. Для произвольной точки X плоскости обозначим через Xi точку, симметричную точке X относительно прямой li, i = 1, 2, 3. а) Докажите, что для произвольной точки M прямые, соединяющие середины отрезков O1O2 и M1M2, O2O3 и M2M3, O3O1 и M3M1, пересекаются в одной точке. б) Где может лежать эта точка пересечения?
Дана окружность с центром O и радиусом 1. Из точки A к ней проведены касательные AB и AC. Точка M, лежащая на окружности, такова, что четырёхугольники OBMC и ABMC имеют равные площади. Найдите MA.
Дан прямоугольный треугольник ABC. На катете AB во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник ADB, а на гипотенузе AC во внутреннюю сторону – равносторонний треугольник AEC. Прямые DE и AB пересекаются в точке M. Весь чертёж стерли, оставив только точки A и B. Восстановите точку M.
Три велосипедиста ездят по кольцевой дороге радиуса 1 км против часовой стрелки с постоянными различными скоростями. Верно ли, что, если они будут кататься достаточно долго, то найдётся момент, когда расстояние между каждыми двумя из них будет больше 1 км?
Серединный перпендикуляр к стороне AB треугольника ABC пересекает сторону AC в точке K, причём точка K делит ломаную ACB на две части равной длины. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.
В интервале (0;) дано n чисел: , , ..., , при этом + +...+ = (n - 2). С помощью циркуля и линейки впишите в данную окружность n-угольник, внутренние углы которого равны соответственно , , ..., . Когда построение возможно?