Задача № 208679
Дан выпуклый четырёхугольник ABMC , в котором AB=BC , BAM = 30o , ACM= 150o . Докажите, что AM – биссектриса угла BMC .
Шарыгин И.Ф. — олимпиадные задачи по математике - сложность 3 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 208570
На основании AB равнобедренного треугольника ABC выбрана точка D так, что окружность, вписанная в треугольник BCD, имеет тот же радиус, что и окружность, касающаяся продолжений отрезков CA и CD и отрезка AD (вневписанная окружность треугольника ACD). Докажите, что этот радиус равен одной четверти высоты треугольника ABC, опущенной на его боковую сторону.
Задача № 208188
В треугольнике ABC известно, что AA1– медиана, AA2– биссектриса, K – такая точка на AA1, для которой KA2 || AC . Докажите, что AA2 KC .
Задача № 208182
Вокруг треугольника ABC описана окружность, к ней через точки A и B проведены касательные, которые пересекаются в точке M. Точка N лежит на стороне BC, причём прямая MN параллельна стороне AC. Докажите, что AN = NC.
Задача № 208121
В окружность вписан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Пусть K – середина дуги BC, не содержащей точку A, N – середина отрезка AC, M – точка пересечения луча KN с окружностью. В точках A и C проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке E. Докажите, что ∠EMK = 90°.
Задача № 208096
ТочкиAиB, лежащие на окружности разбивают её на две дуги. Найдите геометрическое место середин всевозможных хорд, концы которых лежат на разных дугахAB.
Задача № 208055
Угол при вершине A равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) равен 20°. На стороне AB отложим отрезок AD, равный BC. Найдите угол BCD.
Задача № 208043
В трапеции ABCD AB – основание, AC = BC, H – середина AB. Пусть l – прямая, проходящая через точку H и пересекающая прямые AD и BD в точках P и Q соответственно. Докажите, что либо углы ACP и QCB равны, либо их сумма равна 180°.
Задача № 207994
На стороне AB треугольника ABC внешним образом построен квадрат с центром O. Точки M и N середины сторон AC и BC соответственно, а длины этих сторон равны соответственно a и b. Найти максимум суммы OM + ON, когда угол ACB меняется.
Задача № 203939
В треугольнике ABC угол A равен α, BC = a. Вписанная окружность касается прямых AB и AC в точках M и P. Найти длину хорды, высекаемой на прямой MP окружностью с диаметром BC.
Задача № 203792
Есть девять борцов разной силы. В поединке любых двух из них всегда побеждает сильнейший. Можно ли разбить их на три команды по три борца так, чтобы во встречах команд по системе "каждый с каждым" первая команда по числу побед одержала верх над второй, вторая – над третьей, а третья – над первой?
Задача № 203739
Внутри квадратаABCDрасположен квадратKMXY. Докажите, что середины отрезковAK,BM,CXиDYтакже являются вершинами квадрата.
Задача № 198397
Внутренняя точка M выпуклого четырёхугольника ABCD такова, что треугольники AMB и CMD – равнобедренные с углом величиной 120° при вершине M. Докажите существование такой точки N, что треугольники BNC и DNA – правильные.
Задача № 198030
Правильный шестиугольник разрезан на N равновеликих параллелограммов. Доказать, что N делится на 3.
Задача № 197834
Из вершин основания тетраэдра в боковых гранях провели высоты, а затем в каждой из боковых граней основания двух лежащих в ней высот соединили прямой. Докажите, что эти три прямые параллельны одной плоскости.
Задача № 179466
Треугольное сечение куба касается вписанного в куб шара. Докажите, что площадь этого сечения меньше половины площади грани куба.
Задача № 155393
Окружность S1 касается сторон угла ABC в точках A и C. Окружность S2 касается прямой AC в точке C и проходит через точку B. Окружность S1 она пересекает в точке M. Докажите, что прямая AM делит отрезок BC пополам.
Задача № 155248
На диаметре AC некоторой окружности дана точка E. Проведите через неё хорду BD так, чтобы площадь четырёхугольника ABCD была наибольшей.
Задача № 153735
Четырёхугольник вписан в окружность, , . На стороне взяты точки и , а на стороне – точки и . Известно, что , , и что отрезки и пересекаются на диагонали . Найдите и .
Задача № 153734
Внутри треугольника ABC с острыми углами при вершинах A и C взята точка K, причём ∠AKB = 90°, ∠CKB = 180° – ∠C. В каком отношении прямая BK делит сторону AC, если высота, опущенная на AC, делит эту сторону в отношении λ, считая от вершины A?
Задача № 152484
На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC зелёной краской отметили соответственно точки C1, A1 и B1, отличные от вершин треугольника. Оказалось, что AC1 : C1B = BA1 : A1C = CB1 : B1A, а ∠A = ∠B1A1C1. Докажите, что треугольник с зелёными вершинами подобен треугольнику ABC.
Задача № 137006
В тетраэдре DABC ∠ACB = ∠ADB, ребро СD перпендикулярно плоскости АВС. В треугольнике АВС дана высота h, проведённая к стороне АВ, и расстояние d от центра описанной окружности до этой стороны. Найдите CD.
Задача № 136997
Дан квадрат ABCD. Найдите геометрическое место точек M таких, что ∠AMB = ∠CMD.