Задача № 210005
Существуют ли 10 таких различных целых чисел, что все суммы, составленные из девяти из них – точные квадраты?
Черепанов Е. — олимпиадные задачи по математике - сложность 1-2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 198455
Пусть ABC – остроугольный треугольник, C' и A' – произвольные точки на сторонах AB и BC соответственно, B' – середина стороны AC. а) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' не больше половины площади треугольника ABC. б) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна четверти площади треугольника ABC тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек A', C' совпадает с серединой соответствующей стороны.
Задача № 135558
Пусть M – конечное множество чисел. Известно, что среди любых трёх его элементов найдутся два, сумма которых принадлежит M. Какое наибольшее число элементов может быть в M?