Задача № 216543
Даны положительные числа x, y, z. Докажите неравенство
Храбров А. — олимпиадные задачи по математике - сложность 3 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 211883
На доске написано натуральное число. Если на доске написано число x, то можно дописать на нее число 2x + 1 или x/x+2. В какой-то момент выяснилось, что на доске присутствует число 2008. Докажите, что оно там было с самого начала.
Задача № 211835
Дан многочлен P(x) = a0xn + a1xn–1 + ... + an–1x + an. Положим m = min {a0, a0 + a1, ..., a0 + a1 + ... + an}. Докажите, что P(x) ≥ mxn при x ≥ 1.
Задача № 210215
Известно, что и x1 + x2 + ... + x6 = 0. Докажите, что x1x2...x6 ≤ ½.
Задача № 210210
Докажите, что для каждого x такого, что sin x 0, найдется такое натуральное n , что | sin nx| .
Задача № 210180
Докажите, что для x > 0 и натурального n.
Задача № 210074
Существует ли такое натуральное число, что произведение всех его натуральных делителей (включая 1 и само число) оканчивается ровно на 2001 ноль?
Задача № 210066
Даны целые числа a, b и c, c ≠ b. Известно, что квадратные трёхчлены ax² + bx + c и (c – b)x² + (c – a)x + (a + b) имеют общий корень (не обязательно целый). Докажите, что a + b + 2c делится на 3.
Задача № 210036
По данному натуральному числу a0 строится последовательность {an} следующим образом если an нечётно, и a0/2, если an чётно. Докажите, что при любом нечётном a0 > 5 в последовательности {an} встретятся сколь угодно большие числа.
Задача № 210027
Для неотрицательных чисел x и y, не превосходящих 1, докажите, что
Задача № 209784
Последовательность натуральных чисел an строится следующим образом: a0 – некоторое натуральное число; an+1 = ⅕ an, если an делится на 5; an+1 = [ an], если an не делится на 5. Докажите, что начиная с некоторого члена последовательность an возрастает.
Задача № 209761
Докажите, что для любого натурального числа n > 10000 найдётся такое натуральное число m, представимое в виде суммы двух квадратов, что 0 < m – n < 3 .
Задача № 209720
Совершенное число, большее 6, делится на 3. Докажите, что оно делится на 9.
Задача № 209712
Совершенное число, большее 28, делится на 7. Докажите, что оно делится на 49.
Задача № 209711
Докажите неравенство sinn2x + (sinnx – cosnx)² ≤ 1.
Задача № 209704
Докажите, что при любом натуральном n справедливо неравенство
Задача № 166152
Верно ли, что для любых трёх различных натуральных чисел a, b и c найдётся квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами и положительным старшим коэффициентом, принимающий в некоторых целых точках значения a³, b³ и c³?
Задача № 165763
Сумма положительных чисел a, b, c и d равна 3. Докажите неравенство 1/a³ + 1/b³ + 1/c³ + 1/d³ ≤ 1/a³b3c³d³.
Задача № 165748
Сумма положительных чисел a, b, c и d равна 3. Докажите неравенство 1/a² + 1/b² + 1/c² + 1/d² ≤ 1/a²b²c²d².
Задача № 165117
Числа a, b, c и d таковы, что a² + b² + c² + d² = 4. Докажите, что (2 + a)(2 + b) ≥ cd.
Задача № 164770
Дана функция f, определённая на множестве действительных чисел и принимающая действительные значения. Известно, что для любых x и y, таких, что x > y, верно неравенство (f(x))² ≤ f(y). Докажите, что множество значений функции содержится в промежутке [0,1].
Задача № 164625
Какое из чисел больше: (100!)! или 99!100!·100!99!?
Задача № 164364
Положительные числа a, b, c и d удовлетворяют условию 2(a + b + c + d) ≥ abcd. Докажите, что a² + b² + c² + d² ≥ abcd.