Задача № 216630
Приведённый квадратный трёхчлен P(x) таков, что многочлены P(x) и P(P(P(x))) имеют общий корень. Докажите, что P(0)P(1) = 0.
Храбров А. — олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 210185
В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой из остальных ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль?
Задача № 166159
На доску выписали все собственные делители некоторого составного натурального числа n, увеличенные на 1. Найдите все такие числа n, для которых числа на доске окажутся всеми собственными делителями некоторого натурального числа m.
Задача № 165726
Существуют ли такие целые числаaиb, что а) уравнение x² +ax + b= 0 не имеет корней, а уравнение [x²] +ax + b= 0 имеет? б) уравнение x² + 2ax + b= 0 не имеет корней, а уравнение [x²] + 2ax + b= 0 имеет?
Задача № 165705
Положительные числа x, y и z удовлетворяют условию xyz ≥ xy + yz + zx. Докажите неравенство
Задача № 165470
Все коэффициенты некоторого непостоянного многочлена целые и по модулю не превосходят 2015. Докажите, что любой положительный корень этого многочлена больше чем 1/2016.
Задача № 165128
Квадратный трёхчлен f(x) имеет два различных корня. Оказалось, что для любых чисел a и b верно неравенство f(a² + b²) ≥ f(2ab). Докажите, что хотя бы один из корней этого трёхчлена – отрицательный.