Задача № 211835
Дан многочлен P(x) = a0xn + a1xn–1 + ... + an–1x + an. Положим m = min {a0, a0 + a1, ..., a0 + a1 + ... + an}. Докажите, что P(x) ≥ mxn при x ≥ 1.
Храбров А. — олимпиадные задачи по математике для 11 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 210210
Докажите, что для каждого x такого, что sin x 0, найдется такое натуральное n , что | sin nx| .
Задача № 210180
Докажите, что для x > 0 и натурального n.
Задача № 210036
По данному натуральному числу a0 строится последовательность {an} следующим образом если an нечётно, и a0/2, если an чётно. Докажите, что при любом нечётном a0 > 5 в последовательности {an} встретятся сколь угодно большие числа.
Задача № 209790
Последовательность {an} строится следующим образом: a1 = p – простое число, имеющее ровно 300 ненулевых цифр, an+1 – период десятичной дроби 1/an, умноженный на 2. Найдите число a2003.
Задача № 209784
Последовательность натуральных чисел an строится следующим образом: a0 – некоторое натуральное число; an+1 = ⅕ an, если an делится на 5; an+1 = [ an], если an не делится на 5. Докажите, что начиная с некоторого члена последовательность an возрастает.
Задача № 209775
Даны многочлены f(x) и g(x) с целыми неотрицательными коэффициентами, m – наибольший коэффициент многочлена f. Известно, что для некоторых натуральных чисел a < b имеют место равенства f(a) = g(a) и f(b) = g(b). Докажите, что если b > m, то многочлены f и g совпадают.
Задача № 209761
Докажите, что для любого натурального числа n > 10000 найдётся такое натуральное число m, представимое в виде суммы двух квадратов, что 0 < m – n < 3 .
Задача № 209711
Докажите неравенство sinn2x + (sinnx – cosnx)² ≤ 1.
Задача № 209654
Выпуклый многоугольник M переходит в себя при повороте на угол90o . Докажите, что найдутся два круга с отношением радиусов, равным , один из которых содержит M , а другой содержится в M .
Задача № 165763
Сумма положительных чисел a, b, c и d равна 3. Докажите неравенство 1/a³ + 1/b³ + 1/c³ + 1/d³ ≤ 1/a³b3c³d³.
Задача № 165705
Положительные числа x, y и z удовлетворяют условию xyz ≥ xy + yz + zx. Докажите неравенство
Задача № 165470
Все коэффициенты некоторого непостоянного многочлена целые и по модулю не превосходят 2015. Докажите, что любой положительный корень этого многочлена больше чем 1/2016.
Задача № 165128
Квадратный трёхчлен f(x) имеет два различных корня. Оказалось, что для любых чисел a и b верно неравенство f(a² + b²) ≥ f(2ab). Докажите, что хотя бы один из корней этого трёхчлена – отрицательный.
Задача № 164770
Дана функция f, определённая на множестве действительных чисел и принимающая действительные значения. Известно, что для любых x и y, таких, что x > y, верно неравенство (f(x))² ≤ f(y). Докажите, что множество значений функции содержится в промежутке [0,1].
Задача № 164364
Положительные числа a, b, c и d удовлетворяют условию 2(a + b + c + d) ≥ abcd. Докажите, что a² + b² + c² + d² ≥ abcd.