Задача № 210153
Сумма положительных чисел a, b, c равна π/2. Докажите, что cos a + cos b + cos c > sin a + sin b + sin c.
Сендеров В.А. — олимпиадные задачи по математике
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 210151
При каких натуральных n для любых чисел α , β , γ , являющихся величинами углов остроугольного треугольника, справедливо неравенство sin nα + sin nβ + sin nγ
Задача № 210144
Для некоторых натуральных чисел a, b, c и d выполняются равенства a/c = b/d = ab+1/cd+1. Докажите, что a = c и b = d.
Задача № 210143
В вершинах кубика написали числа от 1 до 8, а на каждом ребре – модуль разности чисел, стоящих в его концах. Какое наименьшее количество различных чисел может быть написано на ребрах?
Задача № 210132
Докажите, что стороны любого неравнобедренного треугольника можно либо все увеличить, либо все уменьшить на одну и ту же величину так, чтобы получился прямоугольный треугольник.
Задача № 210120
Найдите все простые p, для каждого из которых существуют такие натуральные x и y, что px = y³ + 1.
Задача № 210069
На окружности расположена тысяча непересекающихся дуг, и на каждой из них написаны два натуральных числа. Сумма чисел каждой дуги делится на произведение чисел дуги, следующей за ней по часовой стрелке. Каково наибольшее возможное значение наибольшего из написанных чисел?
Задача № 210040
Существуют ли различные взаимно простые в совокупности натуральные числа a, b и c, большие 1 и такие, что 2a + 1 делится на b, 2b + 1 делится на c, а 2c + 1 делится на a?
Задача № 210031
Рассматриваются 2000 чисел: 11, 101, 1001, ... . Докажите, что среди этих чисел не менее 99% составных.
Задача № 210000
Существуют ли действительные числа a , b и c такие, что при всех действительных x и y выполняется неравенство |x+a|+|x+y+b|+|y+c|>|x|+|x+y|+|y|?
Задача № 209846
Сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел оказалась кубом натурального числа. Докажите, что среднее из этих трёх чисел делится на 4.
Задача № 209838
Докажите, что sin
Задача № 209828
Натуральные числа x и y таковы, что 2x² – 1 = y15. Докажите, что если x > 1, то x делится на 5.
Задача № 209823
Найдите наименьшее натуральное число, не представимое в виде , где a, b, c, d – натуральные числа.
Задача № 209818
Натуральные числа x, y, z (x > 2, y > 1) таковы, что xy + 1 = z². Обозначим через p количество различных простых делителей числа x, через q – количество различных простых делителей числа y. Докажите, что p ≥ q + 2.
Задача № 209798
Пусть M={x1, .., x30} – множество, состоящее из 30 различных положительных чисел; An (1 n 30) – сумма всевозможных произведений различных n элементов множества M . Докажите, что если A15>A10, то A1>1.
Задача № 209774
Пусть α , β , γ , τ – такие положительные числа, что при всех x sinα x+ sinβ x= sinγ x+ sinτ x. Докажите, что α=γ или α=τ .
Задача № 209754
Докажите, что для всех x(0;)при n>m , где n,m – натуральные, справедливо неравенство 2| sinn x- cosn x| 3| sinm x- cosm x|;
Задача № 209633
Пусть натуральные числа x, y, p, n и k таковы, что xn + yn = pk. Докажите, что если число n (n > 1) нечётно, а число p нечётное простое, то n является степенью числа p (с натуральным показателем).
Задача № 209625
Найдите все такие натуральные n, что при некоторых взаимно простых x и y и натуральном k > 1, выполняется равенство 3n = xk + yk.
Задача № 209602
Решите уравнение cos(cos(cos(cos x)))= sin(sin(sin(sin x))) .
Задача № 208153
Плоская выпуклая фигура ограничена отрезками AB и AD и дугой BD некоторой окружности (рис.1). Постройте какую-нибудь прямую, которая делит пополам: а) периметр этой фигуры; б) её площадь.
Задача № 208081
Отрезки AB и CD лежат на двух сторонах угла BOD (A лежит между O и B, C – между O и D). Через середины отрезков AD и BC проведена прямая, пересекающая стороны угла в точках M и N (M, A и B лежат на одной стороне угла; N, C и D – на другой). Докажите, что OM : ON = AB : CD.
Задача № 207866
Решите в натуральных числах уравнение 3x + 4y = 5z.
Задача № 207818
Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных чисел n, что число n представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, а числа n – 1 и n + 1 – нет.
26–50 из 90