Задача № 216944
Натуральные числа a, b и c, где c ≥ 2, таковы, что 1/a + 1/b = 1/c. Докажите, что хотя бы одно из чисел a + c, b + c – составное.
Сендеров В.А. — олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216546
Найдите все такие тройки простых чисел p, q, r, что четвёртая степень каждого из них, уменьшенная на 1, делится на произведение двух остальных.
Задача № 211856
Для натурального n > 3 будем обозначать через n? (n-вопросиал) произведение всех простых чисел, меньших n. Решите уравнение n? = 2n + 16.
Задача № 211810
Числа a, b, c таковы, что a²(b + c) = b²(a + c) = 2008 и a ≠ b. Найдите значение выражения c²(a + b).
Задача № 211771
Для вещественных x > y > 0 и натуральных n > k докажите неравенство (xk – yk)n < (xn – yn)k.
Задача № 210153
Сумма положительных чисел a, b, c равна π/2. Докажите, что cos a + cos b + cos c > sin a + sin b + sin c.
Задача № 210143
В вершинах кубика написали числа от 1 до 8, а на каждом ребре – модуль разности чисел, стоящих в его концах. Какое наименьшее количество различных чисел может быть написано на ребрах?
Задача № 210031
Рассматриваются 2000 чисел: 11, 101, 1001, ... . Докажите, что среди этих чисел не менее 99% составных.
Задача № 208081
Отрезки AB и CD лежат на двух сторонах угла BOD (A лежит между O и B, C – между O и D). Через середины отрезков AD и BC проведена прямая, пересекающая стороны угла в точках M и N (M, A и B лежат на одной стороне угла; N, C и D – на другой). Докажите, что OM : ON = AB : CD.
Задача № 205129
Найдите все целые числа x и y, удовлетворяющие уравнению x4 – 2y² = 1.
Задача № 205127
Пусть a, b, c – стороны треугольника. Докажите неравенство a³ + b³ + 3abc > c³.
Задача № 205110
Приведите пример многочлена P(x) степени 2001, для которого P(x) + P(1 – x) ≡ 1.
Задача № 205065
a, b, c – стороны треугольника. Докажите неравенство
Задача № 205049
Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа a, b, c, d, для которых числа a² + 2cd + b² и c² + 2ab + d² являются полными квадратами.
Задача № 198533
Cлава перемножил первые n натуральных чисел, а Валера перемножил первые m чётных натуральных чисел (n и m больше 1). В результате у них получилось одно и то же число. Докажите, что хотя бы один из мальчиков ошибся.
Задача № 198497
Натуральные числа a, b, c, d таковы, что наименьшее общее кратное этих чисел равно a + b + c + d. Докажите, что abcd делится на 3 или на 5 (или на то и другое).
Задача № 198450
Докажите, что существует бесконечно много нечётных n, для которых число 2n + n – составное.
Задача № 198445
Рассматриваются тройки целых чисел a, b и c, для которых выполнено условие: a + b + c = 0. Для каждой такой тройки вычисляется число d = a1999 + b1999 + c1999. Может ли случиться, что а) d = 2? б) d – простое число?
Задача № 198427
В ряд стоят 1999 чисел. Первое число равно 1. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, равно сумме двух соседних. Найдите последнее число.
Задача № 198318
Существуют ли три таких различных простых числа p, q, r, что p² + d делится на qr, q² + d делится на rp, r² + d делится на pq, если а) d = 10, б) d =11?
Задача № 198292
Существует ли такое число n , что числа а) n – 96, n, n + 96; б) n – 1996, n, n + 1996 простые? (Все простые числа считаем положительными.)
Задача № 198282
а) Существуют ли четыре таких различных натуральных числа, что сумма каждых трёх из них есть простое число? б) Существуют ли пять таких различных натуральных чисел, что сумма каждых трёх из них есть простое число?
Задача № 198263
Докажите, что число вида a0...09 – не полный квадрат (при любом числе нулей, начиная с одного; a – цифра, отличная от 0).
Задача № 198252
Докажите, что число 40...09 – не полный квадрат (при любом числе нулей, начиная с 1).
Задача № 198137
Докажите, что произведение всех целых чисел от 21917 + 1 до 21991 – 1 включительно не есть квадрат целого числа.
1–25 из 29