Задача № 211810
Числа a, b, c таковы, что a²(b + c) = b²(a + c) = 2008 и a ≠ b. Найдите значение выражения c²(a + b).
Сендеров В.А. — олимпиадные задачи по математике для 6-7 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 211788
Существуют ли такие простые числа p1, p2, ..., p2007, что делится на p2, делится на p3, ..., делится на p1?
Задача № 210169
Может ли в наборе из шести чисел (a, b, c, a²/b, b²/c, c²/a}, где a, b, c – положительные числа, оказаться ровно три различных числа?
Задача № 210144
Для некоторых натуральных чисел a, b, c и d выполняются равенства a/c = b/d = ab+1/cd+1. Докажите, что a = c и b = d.
Задача № 210143
В вершинах кубика написали числа от 1 до 8, а на каждом ребре – модуль разности чисел, стоящих в его концах. Какое наименьшее количество различных чисел может быть написано на ребрах?
Задача № 210040
Существуют ли различные взаимно простые в совокупности натуральные числа a, b и c, большие 1 и такие, что 2a + 1 делится на b, 2b + 1 делится на c, а 2c + 1 делится на a?
Задача № 210000
Существуют ли действительные числа a , b и c такие, что при всех действительных x и y выполняется неравенство |x+a|+|x+y+b|+|y+c|>|x|+|x+y|+|y|?
Задача № 209828
Натуральные числа x и y таковы, что 2x² – 1 = y15. Докажите, что если x > 1, то x делится на 5.
Задача № 205129
Найдите все целые числа x и y, удовлетворяющие уравнению x4 – 2y² = 1.
Задача № 205127
Пусть a, b, c – стороны треугольника. Докажите неравенство a³ + b³ + 3abc > c³.
Задача № 205049
Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа a, b, c, d, для которых числа a² + 2cd + b² и c² + 2ab + d² являются полными квадратами.
Задача № 198427
В ряд стоят 1999 чисел. Первое число равно 1. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, равно сумме двух соседних. Найдите последнее число.
Задача № 198386
В треугольнике ABC отрезки CM и BN – медианы, P и Q – точки соответственно на AB и AC такие, что биссектриса угла C треугольника одновременно является биссектрисой угла MCP, а биссектриса угла B – биссектрисой угла NBQ. Можно ли утверждать, что треугольник ABC равнобедренный, если а) BP = CQ; б) AP = AQ; в) PQ || BC?
Задача № 198318
Существуют ли три таких различных простых числа p, q, r, что p² + d делится на qr, q² + d делится на rp, r² + d делится на pq, если а) d = 10, б) d =11?
Задача № 198292
Существует ли такое число n , что числа а) n – 96, n, n + 96; б) n – 1996, n, n + 1996 простые? (Все простые числа считаем положительными.)
Задача № 198282
а) Существуют ли четыре таких различных натуральных числа, что сумма каждых трёх из них есть простое число? б) Существуют ли пять таких различных натуральных чисел, что сумма каждых трёх из них есть простое число?