Задача № 216768
Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, большие 1010, что их произведение делится на любое из них, увеличенное на 2012?
Сендеров В.А. — олимпиадные задачи по математике для 11 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216570
Даны положительные числа b и c. Докажите неравенство (b – c)2011(b + c)2011(c – b)2011 ≥ (b2011 – c2011)(b2011 + c2011)(c2011 – b2011).
Задача № 216563
Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?
Задача № 215404
Найдите все такие натуральные n, что при некоторых отличных от нуля действительных числах a, b, c, d многочлен (ax + b)1000 – (cx + d)1000 после раскрытия скобок и приведения всех подобных слагаемых имеет ровно n ненулевых коэффициентов.
Задача № 215352
Назовём тройку натуральных чисел (a, b, c) квадратной, если они образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке), число b взаимно просто с каждым из чисел a и c, а число abc является точным квадратом. Докажите, что для любой квадратной тройки найдётся другая квадратная тройка, имеющая с ней хотя бы одно общее число. (Тройка (c, b, a) новой тройкой не считается.)
Задача № 211875
При каких натуральных n > 1 существуют такие натуральные b1, ..., bn (не все из которых равны), что при всех натуральных k число (b1 + k)(b2 + k)...(bn + k) является степенью натурального числа? (Показатель степени может зависеть от k, но должен быть больше 1.)
Задача № 211863
Дано конечное множество простых чисел P. Докажите, что найдётся такое натуральное число x , что оно представляется в виде x = ap + bp (с натуральными a, b) при всех p ∈ P и не представляется в таком виде для любого простого p ∉ P.
Задача № 211771
Для вещественных x > y > 0 и натуральных n > k докажите неравенство (xk – yk)n < (xn – yn)k.
Задача № 211766
При каких натуральных n найдутся такие целые a, b, c, что их сумма равна нулю, а число an + bn + cn – простое?
Задача № 210201
Произведение квадратных трёхчленов x² + a1x + b1, x² + a2x + b2, ..., x² + anx + bn равно многочлену P(x) = x2n + c1x2n–1 + c2x2n–2 + ... + c2n–1x + c2n, где коэффициенты c1, c2, ..., c2n положительны. Докажите, что для некоторого k (1 ≤ k ≤ n) коэффициенты ak и bk положительны.
Задача № 210153
Сумма положительных чисел a, b, c равна π/2. Докажите, что cos a + cos b + cos c > sin a + sin b + sin c.
Задача № 210151
При каких натуральных n для любых чисел α , β , γ , являющихся величинами углов остроугольного треугольника, справедливо неравенство sin nα + sin nβ + sin nγ
Задача № 210069
На окружности расположена тысяча непересекающихся дуг, и на каждой из них написаны два натуральных числа. Сумма чисел каждой дуги делится на произведение чисел дуги, следующей за ней по часовой стрелке. Каково наибольшее возможное значение наибольшего из написанных чисел?
Задача № 209838
Докажите, что sin
Задача № 209818
Натуральные числа x, y, z (x > 2, y > 1) таковы, что xy + 1 = z². Обозначим через p количество различных простых делителей числа x, через q – количество различных простых делителей числа y. Докажите, что p ≥ q + 2.
Задача № 209798
Пусть M={x1, .., x30} – множество, состоящее из 30 различных положительных чисел; An (1 n 30) – сумма всевозможных произведений различных n элементов множества M . Докажите, что если A15>A10, то A1>1.
Задача № 209774
Пусть α , β , γ , τ – такие положительные числа, что при всех x sinα x+ sinβ x= sinγ x+ sinτ x. Докажите, что α=γ или α=τ .
Задача № 209754
Докажите, что для всех x(0;)при n>m , где n,m – натуральные, справедливо неравенство 2| sinn x- cosn x| 3| sinm x- cosm x|;
Задача № 209602
Решите уравнение cos(cos(cos(cos x)))= sin(sin(sin(sin x))) .
Задача № 207814
Докажите, что для любого многочлена P(x) степени n с натуральными коэффициентами найдется такое целое число k, что числа P(k), P(k + 1), ..., P(k + 1996) будут составными, если а) n = 1; б) n – произвольное натуральное число.
Задача № 205110
Приведите пример многочлена P(x) степени 2001, для которого P(x) + P(1 – x) ≡ 1.
Задача № 205070
Решите в натуральных числах уравнение (1 + nk)l = 1 + nm, где l > 1.
Задача № 205065
a, b, c – стороны треугольника. Докажите неравенство
Задача № 198579
Существуют ли такие иррациональные числа a и b, что a > 1, b > 1, и [am] отлично от [bn] при любых натуральных числах m и n?
Задача № 198497
Натуральные числа a, b, c, d таковы, что наименьшее общее кратное этих чисел равно a + b + c + d. Докажите, что abcd делится на 3 или на 5 (или на то и другое).
1–25 из 35