Задача № 216944
Натуральные числа a, b и c, где c ≥ 2, таковы, что 1/a + 1/b = 1/c. Докажите, что хотя бы одно из чисел a + c, b + c – составное.
Сендеров В.А. — олимпиадные задачи по математике для 10-11 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216768
Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, большие 1010, что их произведение делится на любое из них, увеличенное на 2012?
Задача № 216644
Для натуральных чисел a > b > 1 определим последовательность x1, x2, ... формулой . Найдите наименьшее d, при котором ни при каких a и b эта последовательность не содержит d последовательных членов, являющихся простыми числами.
Задача № 216599
Докажите, что для любого натурального n выполнено неравенство (n – 1)n+1(n + 1)n–1 < n2n.
Задача № 216570
Даны положительные числа b и c. Докажите неравенство (b – c)2011(b + c)2011(c – b)2011 ≥ (b2011 – c2011)(b2011 + c2011)(c2011 – b2011).
Задача № 216563
Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?
Задача № 215404
Найдите все такие натуральные n, что при некоторых отличных от нуля действительных числах a, b, c, d многочлен (ax + b)1000 – (cx + d)1000 после раскрытия скобок и приведения всех подобных слагаемых имеет ровно n ненулевых коэффициентов.
Задача № 215363
Существуют ли три попарно различных ненулевых целых числа, сумма которых равна нулю, а сумма тринадцатых степеней которых является квадратом некоторого натурального числа?
Задача № 215352
Назовём тройку натуральных чисел (a, b, c) квадратной, если они образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке), число b взаимно просто с каждым из чисел a и c, а число abc является точным квадратом. Докажите, что для любой квадратной тройки найдётся другая квадратная тройка, имеющая с ней хотя бы одно общее число. (Тройка (c, b, a) новой тройкой не считается.)
Задача № 211875
При каких натуральных n > 1 существуют такие натуральные b1, ..., bn (не все из которых равны), что при всех натуральных k число (b1 + k)(b2 + k)...(bn + k) является степенью натурального числа? (Показатель степени может зависеть от k, но должен быть больше 1.)
Задача № 211863
Дано конечное множество простых чисел P. Докажите, что найдётся такое натуральное число x , что оно представляется в виде x = ap + bp (с натуральными a, b) при всех p ∈ P и не представляется в таком виде для любого простого p ∉ P.
Задача № 211784
Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных чисел, содержит точный куб натурального числа. Докажите, что она содержит и точный куб, не являющийся точным квадратом.
Задача № 211771
Для вещественных x > y > 0 и натуральных n > k докажите неравенство (xk – yk)n < (xn – yn)k.
Задача № 211766
При каких натуральных n найдутся такие целые a, b, c, что их сумма равна нулю, а число an + bn + cn – простое?
Задача № 210212
При каких натуральных n найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа a и b, что оба числа a + b и an + bn – целые?
Задача № 210201
Произведение квадратных трёхчленов x² + a1x + b1, x² + a2x + b2, ..., x² + anx + bn равно многочлену P(x) = x2n + c1x2n–1 + c2x2n–2 + ... + c2n–1x + c2n, где коэффициенты c1, c2, ..., c2n положительны. Докажите, что для некоторого k (1 ≤ k ≤ n) коэффициенты ak и bk положительны.
Задача № 210197
Найдите все такие пары (x, y) натуральных чисел, что x + y = an, x² + y² = am для некоторых натуральных a, n, m.
Задача № 210189
Существует ли такая бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия {an} из натуральных чисел, что произведение an...an+9 делится на сумму an +... + an+9 при любом натуральном n?
Задача № 210183
Найдите все такие пары (a, b) натуральных чисел, что при любом натуральном n число an + bn является точной (n+1)-й степенью.
Задача № 210182
Арифметическая прогрессия a1, a2, ..., состоящая из натуральных чисел, такова, что при любом n произведение anan+31 делится на 2005. Можно ли утверждать, что все члены прогрессии делятся на 2005?
Задача № 210153
Сумма положительных чисел a, b, c равна π/2. Докажите, что cos a + cos b + cos c > sin a + sin b + sin c.
Задача № 210151
При каких натуральных n для любых чисел α , β , γ , являющихся величинами углов остроугольного треугольника, справедливо неравенство sin nα + sin nβ + sin nγ
Задача № 210132
Докажите, что стороны любого неравнобедренного треугольника можно либо все увеличить, либо все уменьшить на одну и ту же величину так, чтобы получился прямоугольный треугольник.
Задача № 210120
Найдите все простые p, для каждого из которых существуют такие натуральные x и y, что px = y³ + 1.
Задача № 210069
На окружности расположена тысяча непересекающихся дуг, и на каждой из них написаны два натуральных числа. Сумма чисел каждой дуги делится на произведение чисел дуги, следующей за ней по часовой стрелке. Каково наибольшее возможное значение наибольшего из написанных чисел?
1–25 из 61