Произволов В.В. — олимпиадные задачи по математике - сложность 3 с решениями
Сфера касается всех рёбер тетраэдра. Соединим точки касания на парах несмежных рёбер.
Докажите, что три полученные прямые пересекаются в одной точке.
Три плоскости разрезают параллелепипед на 8 шестигранников, все грани которых – четырёхугольники (каждая плоскость пересекает свои две пары противоположных граней параллелепипеда и не пересекает две оставшиеся грани). Известно, что вокруг одного из этих шестигранников можно описать сферу. Докажите, что и вокруг каждого из них можно описать сферу.
В выпуклом пятиугольнике <i>ABCDE</i> углы <i>ABC</i> и <i>CDE</i> равны по <!-- MATH $90^{\circ}$ --> 90<sup><tt>o</tt></sup>, стороны <i>BC</i>, <i>CD</i> и <i>AE</i> равны по 1 и сумма сторон <i>AB</i> и <i>DE</i> равна 1. Докажите, что площадь пятиугольника равна 1.
Бумажная прямоугольная полоска помещается внутри данного круга. Полоску согнули (не обязательно пополам). Докажите, что после сгибания полоску можно также разместить в этом круге.
Точки <i>M</i> и <i>N</i> на сторонах <i>BC</i> и <i>AB</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> выбраны так, что площадь треугольника <i>AKC</i> равна площади четырёхугольника <i>BMKN</i> (<i>K</i> — точка пересечения отрезков <i>AM</i> и <i>CN</i>). Найдите угол <i>AKC</i>.
Равносторонние треугольники <i>ABC</i> и <i>PQR</i> расположены так, что вершина <i>C</i> лежит на стороне <i>PQ</i>, а вершина <i>R</i> — на стороне <i>AB</i>. Докажите, что <!-- MATH $AP \parallel BQ$ --> <i>AP</i> || <i>BQ</i>.
Существуют ли две трапеции, основания первой из которых соответственно равны боковым сторонам второй, а основания второй — боковым сторонам первой?
Каждая сторона выпуклого четырёхугольника разделена на 8 равных частей. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены друг с другом, и полученные клетки раскрашены в шахматном порядке. Докажите, что сумма площадей черных клеток равна сумме площадей белых клеток.
Взаимно перпендикулярные прямые <i>l</i> и <i>m</i> пересекаются в точке <i>P</i> окружности так, что они разбивают окружность на три дуги. Отметим на каждой дуге такую точку, что проведённая через неё касательная к окружности пересекается с прямыми <i>l</i> и <i>m</i> в точках равноотстоящих от точки касания. Докажите, что три отмеченные точки являются вершинами равностороннего треугольника.
а) 10 точек, делящие окружность на 10 равных дуг, попарно соединены пятью хордами. Обязательно ли среди них найдутся две хорды одинаковой длины?б) 20 точек, делящие окружность на 20 равных дуг, попарно соединены 10 хордами. Докажите, что среди них обязательно найдутся две хорды одинаковой длины?