Задание олимпиады про шахматную раскраску четырёхугольника
Задача
Каждая сторона выпуклого четырёхугольника разделена на 8 равных частей. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены друг с другом, и полученные клетки раскрашены в шахматном порядке. Докажите, что сумма площадей черных клеток равна сумме площадей белых клеток.
Решение
Пусть M, N, K, L — середины сторон соответственно AB, BC, CD и AD выпуклого четырёхугольника ABCD (рис.1). Тогда четырёхугольник MNKL — параллелограмм. Его диагонали MK и NL делятся точкой пересечения Q пополам. Рассуждая аналогично докажем, что каждый из отрезков, соединяющих соответствующие точки деления на противоположных сторонах исходного четырёхугольника, делится на 8 равных частей.
Осталось доказать, что утверждение задачи верно для выпуклого четырёхугольника, все стороны которого разделены пополам (рис.2). Для этого достаточно заметить, что треугольники с общей вершиной O и попарно равными основаниями попарно равновелики.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь