Задача № 216727
Внутри каждой грани единичного куба выбрали по точке. Затем каждые две точки, лежащие на соседних гранях, соединили отрезком. Докажите, что сумма длин этих отрезков не меньше, чем .
Произволов В.В. — олимпиадные задачи по математике
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216712
Из каждой вершины выпуклого многогранника выходят ровно три ребра, причём хотя бы два из этих трёх рёбер равны. Докажите, что многогранник имеет хотя бы три равных ребра.
Задача № 216456
Имеется 200 гирек массами 1, 2, ..., 200 грамм. Их разложили на две чаши весов по 100 гирек на каждую, и весы оказались в равновесии. На каждой гирьке записали, сколько гирек на противоположной чаше легче неё. Докажите, что сумма чисел, записанных на гирьках левой чаши, равна сумме чисел, записанных на гирьках правой чаши.
Задача № 216397
100 красных точек разделили синюю окружность на 100 дуг, длины которых являются всеми натуральными числами от 1 до 100 в произвольном порядке. Докажите, что существуют две перпендикулярные хорды с красными концами.
Задача № 216386
На стороне AB треугольника ABC взята такая точка P, что AP = 2PB, а на стороне AC – ее середина, точка Q. Известно, что CP = 2PQ. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
Задача № 216375
На наибольшей стороне AB треугольника ABC взяли такие точки P и Q, что AQ = AC, BP = BC. Докажите, что центр описанной окружности треугольника PQC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.
Задача № 216268
Грани выпуклого многогранника – подобные треугольники. Докажите, что многогранник имеет две пары равных граней (одну пару равных граней и еще одну пару равных граней).
Задача № 216258
На сторонах BC и CD ромба ABCD взяли точки P и Q соответственно так, что BP = CQ. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника APQ лежит на диагонали BD ромба.
Задача № 216257
Найдите все такие натуральные числа a и b, что (a + b²)(b + a²) является целой степенью двойки.
Задача № 216244
В пространстве расположена замкнутая шестизвенная ломаная ABCDEF, противоположные звенья которой параллельны (AB || DE, BC || EF и CD || FA). При этом AB не равно DE. Докажите, что все звенья ломаной лежат в одной плоскости.
Задача № 216239
Есть 40 гирек массой 1 г, 2 г, ..., 40 г. Из них выбрали 10 гирь чётной массы и положили на левую чашу весов. Затем выбрали 10 гирь нечётной массы и положили на правую чашу весов. Весы оказались в равновесии. Докажите, что на какой-нибудь чаше есть две гири с разностью масс в 20 г.
Задача № 216053
Квадрат ABCD разрезан на одинаковые прямоугольники с целыми длинами сторон. Фигура F является объединением всех прямоугольников, имеющих общие точки с диагональю AC. Докажите, что AC делит площадь фигуры F пополам.
Задача № 216029
Концы N хорд разделили окружность на 2N дуг единичной длины. Известно, что каждая из хорд делит окружность на две дуги чётной длины. Докажите, что число N чётно.
Задача № 216005
В шахматном турнире участвовало 8 человек, и в итоге они набрали разное количество очков (каждый играл с каждым один раз, победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0). Шахматист, занявший второе место, набрал столько же очков, сколько четверо последних набрали вместе. Как сыграли между собой шахматисты, занявшие третье и седьмое места?
Задача № 215997
Существуют ли два многоугольника, у которых все вершины общие, но нет ни одной общей стороны?
Задача № 211915
Угол B при вершине равнобедренного треугольника ABC равен 120°. Из вершины B выпустили внутрь треугольника два луча под углом 60° друг к другу, которые, отразившись от основания AC в точках P и Q, попали на боковые стороны в точки M и N (см. рис.). Докажите, что площадь треугольника PBQ равна сумме площадей треугольников AMP и CNQ.
Задача № 211875
При каких натуральных n > 1 существуют такие натуральные b1, ..., bn (не все из которых равны), что при всех натуральных k число (b1 + k)(b2 + k)...(bn + k) является степенью натурального числа? (Показатель степени может зависеть от k, но должен быть больше 1.)
Задача № 211644
Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять из которых не превосходят 50, а остальные больше 50, но не превосходят 100. При этом никакие два из них не отличаются ровно на 50. Найдите сумму этих чисел.
Задача № 210031
Рассматриваются 2000 чисел: 11, 101, 1001, ... . Докажите, что среди этих чисел не менее 99% составных.
Задача № 208681
Точки P1, P2, ..., Pn–1 делят сторону BC равностороннего треугольника ABC на n равных частей: BP1 = P1P2 = ... = Pn–lC. Точка M выбрана на стороне AC так, что AM = BP1. Докажите, что ∠AP1M+ ∠AP2M+ ... + ∠APn–1M= 30°, если а) n= 3; б)n– произвольное натуральное число.
Задача № 208680
Дан равносторонний треугольник ABC. Сторона BC разделена на три равные части точками K и L, а точка M делит сторону AC в отношении 1 : 2, считая от вершины A. Докажите, что сумма углов AKM и ALM равна 30°.
Задача № 208613
Квадрат ABCD и окружность пересекаются в восьми точках так, что образуются четыре криволинейных треугольника: AEF, BGH, CIJ, DKL (EF, GH, IJ, KL – дуги окружности). Докажите, что а) сумма длин дуг EF и IJ равна сумме длин дуг GH и KL; б) сумма периметров криволинейных треугольников AEF и CIJ равна сумме периметров криволинейных треугольников BGH и DKL.
Задача № 208606
В прямоугольник вписан четырёхугольник (на каждой стороне прямоугольника по одной вершине четырёхугольника). Докажите, что периметр четырёхугольника не меньше удвоенной диагонали прямоугольника.
Задача № 208599
Из точки O, лежащей внутри выпуклого n-угольника A1A2...An, проведены отрезки ко всем вершинам: OA1, OA2, ..., OAn . Оказалось, что все углы между этими отрезками и прилегающими к ним сторонами n-угольника – острые, причём ∠OA1An ≤ ∠OA1A2, ∠OA2A1 ≤ ∠OA2A3, ..., ∠OAn–1An–2 ≤ ∠OAn–1An, ∠OAnAn–1 ≤ ∠OAnA1. Докажите, что O – центр окружности, вписанной в n-угольник.
Задача № 208598
Рассматривается шестиугольник, который является пересечением двух (не обязательно равных) правильных треугольников. Докажите, что если параллельно перенести один из треугольников, то периметр пересечения (если оно остаётся шестиугольником), не меняется.
1–25 из 87