Задача № 216727
Внутри каждой грани единичного куба выбрали по точке. Затем каждые две точки, лежащие на соседних гранях, соединили отрезком. Докажите, что сумма длин этих отрезков не меньше, чем .
Произволов В.В. — олимпиадные задачи по математике для 11 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216712
Из каждой вершины выпуклого многогранника выходят ровно три ребра, причём хотя бы два из этих трёх рёбер равны. Докажите, что многогранник имеет хотя бы три равных ребра.
Задача № 216397
100 красных точек разделили синюю окружность на 100 дуг, длины которых являются всеми натуральными числами от 1 до 100 в произвольном порядке. Докажите, что существуют две перпендикулярные хорды с красными концами.
Задача № 216268
Грани выпуклого многогранника – подобные треугольники. Докажите, что многогранник имеет две пары равных граней (одну пару равных граней и еще одну пару равных граней).
Задача № 216244
В пространстве расположена замкнутая шестизвенная ломаная ABCDEF, противоположные звенья которой параллельны (AB || DE, BC || EF и CD || FA). При этом AB не равно DE. Докажите, что все звенья ломаной лежат в одной плоскости.
Задача № 216053
Квадрат ABCD разрезан на одинаковые прямоугольники с целыми длинами сторон. Фигура F является объединением всех прямоугольников, имеющих общие точки с диагональю AC. Докажите, что AC делит площадь фигуры F пополам.
Задача № 216005
В шахматном турнире участвовало 8 человек, и в итоге они набрали разное количество очков (каждый играл с каждым один раз, победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0). Шахматист, занявший второе место, набрал столько же очков, сколько четверо последних набрали вместе. Как сыграли между собой шахматисты, занявшие третье и седьмое места?
Задача № 215997
Существуют ли два многоугольника, у которых все вершины общие, но нет ни одной общей стороны?
Задача № 211875
При каких натуральных n > 1 существуют такие натуральные b1, ..., bn (не все из которых равны), что при всех натуральных k число (b1 + k)(b2 + k)...(bn + k) является степенью натурального числа? (Показатель степени может зависеть от k, но должен быть больше 1.)
Задача № 207856
На отрезке [0, 1] отмечено несколько различных точек. При этом каждая отмеченная точка расположена либо ровно посередине между двумя другими отмеченными точками (не обязательно соседними с ней), либо ровно посередине между отмеченной точкой и концом отрезка. Докажите, что все отмеченные точки рациональны.
Задача № 207842
Можно ли разбить правильный тетраэдр с ребром 1 на правильные тетраэдры и октаэдры, длины ребер каждого из которых меньше 1/100?
Задача № 207817
В пространстве даны восемь параллельных плоскостей таких, что расстояния между каждыми двумя соседними равны. На каждой из плоскостей выбирается по точке. Могут ли выбранные точки оказаться вершинами куба.
Задача № 207764
Рассматривается произвольный многоугольник (не обязательно выпуклый). а) Всегда ли найдётся хорда многоугольника, которая делит его на две равновеликие части? б) Докажите, что любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на части, площадь каждой из которых не меньше чем ⅓ площади многоугольника. (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур.)
Задача № 198558
Для натуральных чисел x и y число x² + xy + y² в десятичной записи оканчивается нулем. Докажите, что оно оканчивается хотя бы двумя нулями.
Задача № 198517
На поверхности правильного тетраэдра с ребром 1 отмечены девять точек. Докажите, что среди этих точек найдутся две, расстояние между которыми (в пространстве) не превосходит 0,5.
Задача № 198411
Имеется 19 гирек весов 1, 2, 3, ..., 19 г: девять железных, девять бронзовых и одна золотая. Известно, что общий вес всех железных гирек на 90 г больше общего веса бронзовых. Найдите вес золотой гирьки.
Задача № 198323
Найдите геометрическое место точек, лежащих внутри куба и равноудалённых от трёх скрещивающихся рёбер a, b, c этого куба.
Задача № 198309
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) угол A равен α. На стороне AB взята точка D так, что AD = AB/n. Найдите сумму n – 1 углов, под которыми виден отрезок AD из точек, делящих сторону BC на n равных частей: а) при n = 3; б) при произвольном n.
Задача № 198307
Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
Задача № 198301
В равностороннем треугольнике ABC на стороне AB взята точка D так, что AD = AB/n. Докажите,что сумма n – 1 углов, под которыми виден отрезок AD из точек, делящих сторону BC на n равных частей, равна 30°: а) при n = 3; б) при произвольном n.
Задача № 187082
Сфера касается всех рёбер тетраэдра. Соединим точки касания на парах несмежных рёбер. Докажите, что три полученные прямые пересекаются в одной точке.
Задача № 164529
Три плоскости разрезают параллелепипед на 8 шестигранников, все грани которых – четырёхугольники (каждая плоскость пересекает свои две пары противоположных граней параллелепипеда и не пересекает две оставшиеся грани). Известно, что вокруг одного из этих шестигранников можно описать сферу. Докажите, что и вокруг каждого из них можно описать сферу.