Задача № 208611
Пусть a, b, c – длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC, γ = ∠C. Докажите, что c ≥ (a + b) sin γ/2.
Прасолов В.В. — олимпиадные задачи по математике - сложность 1-2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 208058
Стороны треугольника равны 3, 4 и 5. Биссектрисы внешних углов треугольника продолжены до пересечения с продолжениями сторон. Докажите, что одна из трёх полученных точек есть середина отрезка, соединяющего две другие.
Задача № 208053
Внутри угла расположены две окружности с центрами A и B. Они касаются друг друга и двух сторон угла. Докажите, что окружность с диаметром AB касается сторон угла.
Задача № 208001
Внутри квадрата ABCD взята точка M. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABM, BCM, CDM и DAM образуют квадрат.
Задача № 198452
Можно ли отметить на числовой оси 50 отрезков (быть может, перекрывающихся) так, что их длины – 1, 2, 3, ... , 50, а их концы – все целые точки от 1 до 100 включительно?
Задача № 197767
M – множество точек на плоскости. Точка O называется "почти центром симметрии" множества M, если из M можно выбросить одну точку так, что для оставшегося множества O является центром симметрии в обычном смысле. Сколько "почти центров симметрии" может иметь конечное множество на плоскости?
Задача № 153557
Пусть P и Q – середины сторон AB и CD четырёхугольника ABCD, M и N – середины диагоналей AC и BD. Докажите, что если MN и PQ перпендикулярны, то BC = AD.
Задача № 152488
Окружность S2 проходит через центр O окружности S1 и пересекает её в точках A и B. Через точку A проведена касательная к окружности S2. Точка D – вторая точка пересечения этой касательной с окружностью S1. Докажите, что AD = AB.