Задача № 209633
Пусть натуральные числа x, y, p, n и k таковы, что xn + yn = pk. Докажите, что если число n (n > 1) нечётно, а число p нечётное простое, то n является степенью числа p (с натуральным показателем).
Ковальджи А.К. — олимпиадные задачи по математике для 10 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 209625
Найдите все такие натуральные n, что при некоторых взаимно простых x и y и натуральном k > 1, выполняется равенство 3n = xk + yk.
Задача № 207830
По окружности в одном направлении на равных расстояниях курсируют n поездов. На этой дороге в вершинах правильного треугольника расположены станции A, B и C (обозначенные по направлению движения). Ира входит на станцию A и одновременно Лёша входит на станцию B, чтобы уехать на ближайших поездах. Известно, что если они входят на станции в тот момент, когда машинист Рома проезжает лес, то Ира сядет в поезд раньше Лёши, а в остальных случаях Лёша – раньше Иры или одновременно с ней. Какая часть дороги проходит по лесу?
Задача № 207766
Придумайте многогранник, у которого нет трех граней с одинаковым числом сторон.
Задача № 207760
Ученик не заметил знака умножения между двумя семизначными числами и написал одно четырнадцатизначное число, которое оказалось в три раза больше их произведения. Найдите эти числа.