Задача № 216942
Можно ли множество всех натуральных чисел разбить на непересекающиеся конечные подмножества A1, A2, A3, ... так, чтобы при любом натуральном k сумма всех чисел, входящих в подмножество Ak, равнялась k + 2013?
Женодаров Р.Г. — олимпиадные задачи по математике
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216936
30 девочек – 13 в красных платьях и 17 в синих платьях – водили хоровод вокруг новогодней ёлки. Впоследствии каждую из них спросили, была ли её соседка справа в синем платье. Оказалось, что правильно ответили те и только те девочки, которые стояли между девочками в платьях одного цвета. Сколько девочек могли ответить утвердительно?
Задача № 216541
Дан равнобедренный треугольник ABC (AB = AC). На меньшей дуге AB описанной около него окружности взята точка D. На продолжении отрезка AD за точку D выбрана точка E так, что точки A и E лежат в одной полуплоскости относительно BC. Описанная окружность треугольника BDE пересекает сторону AB в точке F. Докажите, что прямые EF и BC параллельны.
Задача № 216384
На плоскости даны 10 прямых общего положения. При каждой точке пересечения выбирается наименьший угол, образованный проходящими через неё прямыми. Найдите наибольшую возможную сумму всех этих углов.
Задача № 215418
Восемь клеток одной диагонали шахматной доски назовём забором. Ладья ходит по доске, не наступая на одну и ту же клетку дважды и не наступая на клетки забора (промежуточные клетки не считаются посещёнными). Какое наибольшее число прыжков через забор может совершить ладья?
Задача № 211335
Пусть AL – биссектриса треугольника ABC, O – центр описанной около этого треугольника окружности, D – такая точка на стороне AC, что AD = AB. Докажите, что прямые AO и LD перпендикулярны.
Задача № 210223
На доске записано произведение a1a2... a100, где a1, ..., a100 – натуральные числа. Рассмотрим 99 выражений, каждое из которых получается заменой одного из знаков умножения на знак сложения. Известно, что значения ровно 32 из этих выражений чётные. Какое наибольшее количество чётных чисел среди a1, a2, ..., a100 могло быть?
Задача № 210193
Даны 19 карточек. Можно ли на каждой из карточек написать ненулевую цифру так, чтобы из этих карточек можно было сложить ровно одно 19-значное число, кратное на 11?
Задача № 210185
В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой из остальных ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль?
Задача № 210174
Известно, что существует число S , такое, что если a+b+c+d=S и +++=S ( a , b , c , d отличны от нуля и единицы), то + + += S . Найти S .
Задача № 210081
Пусть a, b, c, d, e и f – некоторые числа, причём ace ≠ 0. Известно, что значения выражений |ax + b| + |cx + d| и |ex + f | равны при всех значениях x. Докажите, что ad = bc.
Задача № 210077
Можно ли числа 1, 2, ..., 10 расставить в ряд в некотором порядке так, чтобы каждое из них, начиная со второго, отличалось от предыдущего на целое число процентов?
Задача № 210055
Найдите все такие простые числа p и q , что p + q = (p – q)³.
Задача № 209945
В первые 1999 ячеек компьютера в указанном порядке записаны числа: 1, 2, 4,21998. Два программиста по очереди уменьшают за один ход на единицу числа в пяти различных ячейках. Если в одной из ячеек появляется отрицательное число, то компьютер ломается, и сломавший его оплачивает ремонт. Кто из программистов может уберечь себя от финансовых потерь независимо от ходов партнера, и как он должен для этого действовать?
Задача № 209896
Найдите все натуральные числа, имеющие ровно шесть делителей, сумма которых равна 3500.
Задача № 209886
Докажите, что если a, b, c – положительные числа и ab + bc + ca > a + b + c, то a + b + c > 3.
Задача № 209875
Найдите все такие простые числа p, что число p² + 11 имеет ровно шесть различных делителей (включая единицу и само число).
Задача № 209867
Рассматриваются такие квадратичные функции f(x) = ax² + bx + c, что a < b и f(x) ≥ 0 для всех x. Какое наименьшее значение может принимать выражение a+b+c/b–a ?
Задача № 209594
Найдите все такие простые числа p, q, r и s, что их сумма – простое число. а числа p² + qs и p² + qr – квадраты натуральных чисел. (Числа p, q, r и s предполагаются различными.)
Задача № 209591
На совместной конференции партий лжецов и правдолюбов в президиум было избрано 32 человека, которых рассадили в четыре ряда по 8 человек. В перерыве каждый член президиума заявил, что среди его соседей есть представители обеих партий. Известно, что лжецы всегда лгут, а правдолюбы всегда говорят правду. При каком наименьшем числе лжецов в президиуме возможна описанная ситуация? (Два члена президиума являются соседями, если один из них сидит слева, справа, спереди или сзади от другого.)
Задача № 209569
Докажите тождество + +..+ = = + +..+ .
Задача № 209544
Найдите наибольшее натуральное число, из которого вычеркиванием цифр нельзя получить число, кратное 11.
Задача № 209542
Из квадратной доски 1000×1000 клеток удалены четыре прямоугольника 2×994 (см. рис.). На клетке, помеченной звездочкой, стоиткентавр– фигура, которая за один ход может перемещаться на одну клетку вверх, влево или по диагонали вправо и вверх. Двое игроков ходят кентавром по очереди. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?
Задача № 209489
На сторонах единичного квадрата отметили точки K, L, M и N так, что прямая KM параллельна двум сторонам квадрата, а прямая LN – двум другим сторонам квадрата. Отрезок KL отсекает от квадрата треугольник периметра 1. Треугольник какой площади отсекает от квадрата отрезок MN?
Задача № 208131
В треугольнике ABC медиана BM равна стороне AC. На продолжениях сторон BA и AC за точки A и C выбраны соответственно точки D и E, причём AD = AB и CE = CM. Докажите, что прямые DM и BE перпендикулярны.
1–25 из 77