Задача № 2159878 класс9 класс10 класс11 класс4 / 5
Для прохождения теста тысячу мудрецов выстраивают в колонну. Из колпаков с номерами от 1 до 1001 один прячут, а остальные в случайном порядке надевают на мудрецов. Каждый видит только номера на колпаках всех впереди стоящих. Далее мудрецы по порядку от заднего к переднему называют вслух целые числа. Каждое число должно быть от 1 до 1001, причём нельзя называть то, что уже было сказано. Результат теста – число мудрецов, назвавших номер своего колпака. Мудрецы заранее знали условия теста и могли договориться, как действовать. а) Могут ли они гарантировать результат более 500? б) Могут ли они гар...
Задача № 2159008 класс9 класс10 класс11 класс4 / 5
Дан правильный 17-угольник A1... A17. Докажите, что треугольники, образованные прямыми A1A4, A2A10, A13A14 и A2A3, A4A6, A14A15, равны.
Задача № 2158798 класс9 класс10 класс11 класс4 / 5
Постройте четырёхугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность, по радиусам этих окружностей и углу между диагоналями.
Задача № 2158788 класс9 класс10 класс11 класс4 / 5
Дан четырёхугольник ABCD, противоположные стороны которого пересекаются в точках P и Q. Две прямые, проходящие через эти точки, пересекают стороны четырёхугольника в четырёх точках, являющихся вершинами параллелограмма. Докажите, что центр этого параллелограмма лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей ABCD.
Задача № 2158738 класс9 класс10 класс11 класс4 / 5
Дан треугольник ABC и точки X, Y, не лежащие на его описанной окружности Ω. Пусть A1, B1, C1 – проекции X на BC, CA, AB, а A2, B2, C2 – проекции Y. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из A1, B1, C1 на, соответственно, B2C2, C2A2, A2B2, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда прямая XY проходит через центр Ω.
Задача № 2158608 класс9 класс10 класс11 класс4 / 5
Через вершины треугольника ABC проводятся три произвольные параллельные прямые da, db, dc. Прямые, симметричные da, db, dc относительно BC, CA, AB соответственно, образуют треугольник XYZ. Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей таких треугольников.
Задача № 2155159 класс10 класс11 класс4 / 5
Команда из n школьников участвует в игре: на каждого из них надевают шапку одного из k заранее известных цветов, а затем по свистку все школьники одновременно выбирают себе по одному шарфу. Команда получает столько очков, у скольких её участников цвет шапки совпал с цветом шарфа (шарфов и шапок любого цвета имеется достаточное количество; во время игры каждый участник не видит своей шапки, зато видит шапки всех остальных, но не имеет права выдавать до свистка никакую информацию). Какое наибольшее число очков команда, заранее наметив план действий каждого её члена, может гарантированно получить...
Задача № 21551310 класс11 класс4 / 5
Функция f каждому вектору v (с общим началом в точке O) пространства ставит в соответствие число f(v), причём для любых векторов u, v и любых чисел α, β значение f(αu + βv) не превосходит хотя бы одного из чисел f(u) или f(v). Какое наибольшее количество значений может принимать такая функция?
Задача № 2155099 класс10 класс11 класс4 / 5
На плоскости отметили 4n точек, после чего соединили отрезками все пары точек, расстояние между которыми равно 1 см. Оказалось, что среди любых n + 1 точек обязательно есть две, соединённые отрезком. Докажите, что всего проведено не менее 7n отрезков.
Задача № 2154979 класс10 класс11 класс4 / 5
В некоторых клетках квадрата 20×20 стоит стрелочка в одном из четырёх направлений. На границе квадрата все стрелочки смотрят вдоль границы по часовой стрелке (см. рис.). Кроме того, стрелочки в соседних (возможно, по диагонали) клетках не смотрят в противоположных направлениях. Докажите, что найдётся клетка, в которой стрелочки нет.
Задача № 2154559 класс10 класс4 / 5
В треугольнике АВС : АС = . Докажите, что центры вписанной и описанной окружностей треугольника АВС , середины сторон АВ и ВС и вершина В лежат на одной окружности.
Задача № 2154489 класс10 класс11 класс4 / 5
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с диаметром AD ; O — точка пересечения его диагоналей AC и BD является центром другой окружности, касающейся стороны BC . Из вершин B и С проведены касательные ко второй окружности, пересекающиеся в точке T . Докажите, что точка T лежит на отрезке AD .
Задача № 2154198 класс9 класс10 класс4 / 5
Треугольники ABC и A1B1C1 имеют равные площади. Всегда ли можно построить при помощи циркуля и линейки треугольник A2B2C2, равный треугольнику A1B1C1 и такой, что прямые AA2, BB2 и CC2 будут параллельны?
Задача № 2154099 класс10 класс11 класс4 / 5
В королевстве N городов, некоторые пары которых соединены непересекающимися дорогами с двусторонним движением (города из такой пары называются соседними). При этом известно, что из каждого города можно доехать до любого другого, но невозможно, выехав из некоторого города и двигаясь по различным дорогам, вернуться в исходный город. Однажды Король провел такую реформу: каждый из N мэров городов стал снова мэром одного из N городов, но, возможно, не того города, в котором он работал до реформы. Оказалось, что каждые два мэра, работавшие в соседних городах до реформы, оказались в соседних городах...
Задача № 2154078 класс9 класс10 класс4 / 5
По кругу стоят2009целых неотрицательных чисел, не превышающих 100. Разрешается прибавить по1к двум соседним числам, причем с любыми двумя соседними числами эту операцию можно проделать не более k раз. При каком наименьшем k все числа гарантированно можно сделать равными?
Задача № 2154029 класс10 класс11 класс4 / 5
На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD выбраны точки A1 и C1 соответственно. Отрезки AC1 и CA1 пересекаются в точке P . Описанные окружности треугольников AA1P и CC1P вторично пересекаются в точке Q , лежащей внутри треугольника ACD . Докажите, что PDA= QBA .
Задача № 21539810 класс11 класс4 / 5
В треугольной пирамиде ABCD все плоские углы при вершинах — не прямые, а точки пересечения высот в треугольниках ABC , ABD , ACD лежат на одной прямой. Докажите, что центр описанной сферы пирамиды лежит в плоскости, проходящей через середины ребер AB , AC , AD .
Задача № 21539710 класс11 класс4 / 5
Последовательность a1,a2,.. такова, что a1(1,2)и ak+1=ak+ при любом натуральном k . Докажите, что в ней не может существовать более одной пары членов с целой суммой.
Задача № 2153688 класс9 класс4 / 5
В треугольнике ABC угол A равен60o . Пусть BB1 и CC1 — биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине A относительно прямой B1C1 , лежит на стороне BC .
Задача № 2119289 класс10 класс11 класс4 / 5
Докажите, что при любом разбиении ста "двузначных" чисел 00, 01, ..., 99 на две группы некоторые числа хотя бы одной группы можно записать в ряд так, чтобы каждые два соседних числа этого ряда отличались друг от друга на 1, 10 или 11, и хотя бы в одном из двух разрядов (единиц или десятков) встречались все 10 различных цифр.
Задача № 2119279 класс10 класс11 класс4 / 5
Для каждого простого p найдите наибольшую натуральную степень числа p!, на которую делится число (p²)!.
Задача № 2119268 класс9 класс10 класс4 / 5
Через каждую вершину четырехугольника проведена прямая, проходящая через центр вписанной в него окружности. Три из этих прямых обладают тем свойством, что каждая из них делит площадь четырехугольника на две равновеликие части. a) Докажите, что и четвертая прямая обладает тем же свойством. б) Какие значения могут принимать углы этого четырехугольника, если один из них равен72o ?
Задача № 21192510 класс11 класс4 / 5
На плоскости даны оси координат с одинаковым, но не обозначенным масштабом и график функции y= sin x, x(0;α). Как с помощью циркуля и линейки построить касательную к этому графику в заданной его точке, если: а) α(;π); б) α(0;)?
Задача № 2119218 класс9 класс10 класс4 / 5
Стороны BC и AC треугольника ABC касаются соответствующих вневписанных окружностей в точках A1 , B1 . Пусть A2 , B2 — ортоцентры треугольников CAA1 и CBB1 . Докажите, что прямая A2B2 перпендикулярна биссектрисе угла C .
Задача № 2119169 класс10 класс11 класс4 / 5
Дано целое число n > 1. Двое игроков по очереди отмечают точки на окружности: первый – красным цветом, второй – синим (отмечать одну и ту же точку дважды нельзя). Когда отмечено по n точек каждого цвета, игра заканчивается. После этого каждый игрок находит на окружности дугу наибольшей длины с концами своего цвета, на которой больше нет отмеченных точек. Игрок, у которого найденная длина больше, выиграл (в случае равенства длин дуг, а также при отсутствии таких дуг у обоих игроков – ничья). Кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл противник?