Задача № 207728
Многогранник вписан в сферу. Может ли оказаться, что этот многогранник невыпуклый? (Многогранник вписан в сферу, если все концы его рёбер лежат на сфере.)
Олимпиадные задачи из источника «25 (2002), математика»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 207727
Разделим каждое четырёхзначное число на сумму его цифр. Какой самый большой результат может получиться?
Задача № 207726
Дан квадрат со стороной 1. Каждая его сторона разбита на три равные части. Через точки деления проведены отрезки (см. рис. 1). Найдите площадь заштрихованного квадратика. Рис. 1
Задача № 207725
Даны прямая и точка вне неё. Как с помощью циркуля и линейки построить прямую, параллельную данной прямой и проходящую через данную точку, проведя при этом возможно меньшее число линий (окружностей и прямых), так что последняя проведённая линия — это искомая прямая? Какого числа линий Вам удалось добиться?
Задача № 207724
Известно, что х = 2а5 = 5b² > 0, числа а и b – целые. Каково наименьшее возможное значение х?
Задача № 207723
Все натуральные числа от 1 до 1000 включительно разбиты на две группы: чётные и нечётные. В какой из групп сумма всех цифр, используемых для записи чисел, больше и на сколько?
Задача № 207722
На протяжении некоторого года (от 1 января до 31 декабря включительно) количество вторников было равно количеству четвергов. Следует ли из этого, что и количество сред было такое же? Рассмотрите два случая: а) в году было 365 дней, б} в году было 366 дней.