Задача № 207609
Ma, Mb, Mc– середины сторон,Ha, Hb, Hc– основания высот треугольникаABCплощадиS. Доказать, что из отрезковMaHb, MbHc, McHaможно составить треугольник, найти его площадь.
Олимпиадные задачи из источника «18 (1995), математика»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 207608
Прямоугольник ABCD (AB = a, BC = b) сложили так, что получился пятиугольник площади S (C легла в A). Докажите, что S < ¾ ab.
Задача № 198282
а) Существуют ли четыре таких различных натуральных числа, что сумма каждых трёх из них есть простое число? б) Существуют ли пять таких различных натуральных чисел, что сумма каждых трёх из них есть простое число?
Задача № 198272
Существуют ли 100 таких натуральных чисел, что их сумма равна их наименьшему общему кратному? (Среди чисел могут быть равные.)
Задача № 198271
На плоскости расположен квадрат и невидимыми чернилами нанесена точка P. Человек в специальных очках видит точку. Если провести прямую, то он отвечает на вопрос, по какую сторону от неё лежит P (если P лежит на прямой, то он говорит, что P лежит на прямой). Какое наименьшее число таких вопросов необходимо задать, чтобы узнать, лежит ли точка P внутри квадрата?