Задача № 155152
Докажите, что сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника меньше его периметра, но больше полупериметра.
Олимпиадные задачи из источника «10 (1987)»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 132091
Дан выпуклый пятиугольник. Каждая диагональ отсекает от него треугольник. Докажите, что сумма площадей треугольников больше площади пятиугольника.
Задача № 132090
Докажите, что существует число, сумма цифр квадрата которого более, чем в 1000 раз превышает сумму цифр самого числа.
Задача № 132089
Какое максимальное число ладей можно расставить в кубе 8×8×8, чтобы они не били друг друга?
Задача № 132088
Известно, что некоторый многочлен в рациональных точках принимает рациональные значения. Докажите, что все его коэффициенты рациональны.
Задача № 132087
Шалтай-Болтай ходит по прямой, проходя за минуту либо 37 шагов влево, либо 47 шагов вправо. За какое наименьшее время он может оказаться на один шаг правее исходной точки?
Задача № 132086
Компьютер может производить одну операцию: брать среднее арифметическое двух целых чисел. Даны три числа: m, n и 0, причём m и n не имеют общих делителей и m < n. Докажите, что с помощью компьютера из них можно получить а) единицу; б) любое целое число от 1 до n.
Задача № 132085
В центре квадратного пруда плавает ученик. Внезапно к вершине квадрата подошёл учитель. Учитель не умеет плавать, но бегает в 4 раза быстрее, чем ученик плавает. Ученик бегает быстрее. Сможет ли он убежать?
Задача № 132083
Брат и сестра делят треугольный торт так: он указывает точку на торте, а она проводит через эту точку прямолинейный разрез и выбирает себе кусок. Каждый хочет получить кусок как можно больше. Где брат должен поставить точку? Какую часть торта получит в этом случае каждый из них?
Задача № 132082
На окружности даны 10 точек. Сколькими способами можно провести пять отрезков, не имеющих общих точек, с концами в данных точках?
Задача № 132081
Пусть a и b – целые числа. Докажите, что если a² + 9ab + b² делится на 11, то и a² – b² делится на 11.
Задача № 132080
На плоскости даны четыре точки, не лежащие на одной прямой. Докажите, что существует неостроугольный треугольник с вершинами в этих точках.
Задача № 132079
Али-Баба пришёл в пещеру, где есть золото, алмазы и сундук, в котором их можно унести. Полный сундук золота весит 200 кг, полный сундук алмазов – 40 кг, пустой сундук ничего не весит. Килограмм золота стоит на базаре 20 динаров, килограмм алмазов – 60 динаров. Али-Баба может поднять и унести не более 100 кг. Какую наибольшую сумму (денег) он может получить за сокровища, которые он принесёт из пещеры за один раз?
Задача № 132078
Найти все числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.
Задача № 132077
Вычислить .