Задача № 208001
Внутри квадрата ABCD взята точка M. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABM, BCM, CDM и DAM образуют квадрат.
Олимпиадные задачи из источника «5 турнир (1983/1984 год)» - сложность 2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 198205
Построить выпуклый четырёхугольник, зная длины всех сторон и отрезка, соединяющего середины диагоналей.
Задача № 197831
Из листа клетчатой бумаги размером 29×29 клеточек вырезали 99 квадратиков 2×2 (режут по линиям). Доказать, что из оставшейся части листа можно вырезать ещё хотя бы один такой же квадратик.
Задача № 197829
175 шалтаев стоят дороже, чем 125 болтаев, но дешевле, чем 126 болтаев. Доказать, что на покупку трёх шалтаев и одного болтая не хватит: а) 80 коп.; б) одного рубля.
Задача № 197826
Рассматриваются 4(N – 1) граничных клеток таблицы размером N×N. Нужно вписать в эти клетки последовательные 4(N – 1) целых чисел так, чтобы сумма чисел в вершинах любого прямоугольника со сторонами, параллельными диагоналям таблицы, в том числе и в "вырожденных" прямоугольниках – диагоналях, равнялась одному и тому же числу (для прямоугольников суммируются четыре числа, для диагоналей – два числа). Возможно ли это? Рассмотрите случаи: а) N = 3; б) N = 4; в) N = 5.
Задача № 197825
На уроке танцев 15 мальчиков и 15 девочек построили двумя параллельными колоннами, так что образовалось 15 пар. В каждой паре измерили разницу роста мальчика и девочки (разница берётся по абсолютной величине, то есть из большего вычитают меньшее). Максимальная разность оказалась 10 см. В другой раз перед образованием пар каждую колонну предварительно построили по росту. Докажите, что максимальная разность будет не больше 10 см.
Задача № 197822
Через P(x) обозначается произведение всех цифр натурального числа x, через S(x) – сумма цифр числа x. Сколько решений имеет уравнение: P(P(x)) + P(S(x)) + S(P(x)) + S(S(x)) = 1984 ?
Задача № 197815
Рассматриваются девятизначные числа, состоящие из неповторяющихся цифр от 1 до 9 в разном порядке. Пара таких чисел называется кондиционной, если их сумма равна 987654321. а) Доказать, что найдутся хотя бы две кондиционные пары  ((a, b)  и  (b, a)  – одна и та же пара). б) Доказать, что кондиционных пар – нечётное число.
Задача № 197810
Найти все такие натуральные k, которые можно представить в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от 1.
Задача № 157923
На сторонах CB и CD квадрата ABCD взяты точки M и K так, что периметр треугольника CMK равен удвоенной стороне квадрата. Найдите величину угла MAK.
Задача № 153344
В выпуклом пятиугольнике ABCDE AE = AD, AC = AB и ∠DAC = ∠AEB + ∠ABE. Докажите, что сторона CD в два раза больше медианы AK треугольника ABE.