Задача № 216977
Два приведённых квадратных трёхчлена имеют общий корень, а дискриминант их суммы равен сумме их дискриминантов. Докажите, что тогда дискриминант хотя бы одного из этих двух трёхчленов равен нулю.
Олимпиадные задачи из источника «Московская математическая олимпиада» для 7 класса - сложность 2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216742
Натуральные числа а, b, c и d таковы, что ab = cd. Может ли число a + b + c + d оказаться простым?
Задача № 216674
На плоскости отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Саша разбивает точки на пары, после чего соединяет точки в каждой из пар отрезком. Всегда ли он может это сделать так, чтобы каждые два отрезка пересекались?
Задача № 216673
Кузнечик умеет прыгать только ровно на 50 см. Он хочет обойти 8 точек, отмеченных на рисунке (сторона клетки равна 10 см). Какое наименьшее количество прыжков ему придётся сделать? (Разрешается посещать и другие точки плоскости, в том числе не узлы сетки. Начинать и заканчивать можно в любых точках.)
Задача № 216672
На доске написаны четыре трёхзначных числа, в сумме дающие 2012. Для записи их всех были использованы только две различные цифры. Приведите пример таких чисел.
Задача № 216210
Существует ли шестиугольник, который можно разбить одной прямой на четыре равных треугольника?
Задача № 216209
Пётр родился в XIX веке, а его брат Павел – в XX веке. Однажды братья встретились на праздновании своего общего дня рождения. Пётр сказал: "Мой возраст равен сумме цифр года моего рождения". – "Мой тоже", – ответил Павел. На сколько лет Павел младше Петра?
Задача № 215493
На столе в виде треугольника выложены28монет одинакового размера (рис.). Известно, что суммарная масса любой тройки монет, которые попарно касаются друг друга, равна10 г. Найдите суммарную массу всех18 монет на границе треугольника.
Задача № 211912
Докажите, что существует многоугольник, который можно разделить отрезком на две равные части так, что этот отрезок разделит одну из сторон многоугольника пополам, а другую – в отношении 2 : 1.
Задача № 211905
На доске написано: В этом предложении ... процентов цифр делятся на 2, ... процентов цифр делятся на 3, а ... процентов цифр делятся и на 2 и на 3. Вставьте вместо многоточий какие-нибудь целые числа так, чтобы написанное на доске утверждение стало верным.
Задача № 211347
На едином экзамене 333 ученика допустили в общей сложности 1000 ошибок. Возможно ли при этом, что учеников, сделавших более чем по 5 ошибок, оказалось больше, чем учеников, сделавших менее чем по 4 ошибки?
Задача № 211328
В кинотеатре семь рядов по 10 мест каждый. Группа из 50 детей сходила на утренний сеанс, а потом на вечерний. Докажите, что найдутся двое детей, которые на утреннем сеансе сидели в одном ряду и на вечернем тоже сидели в одном ряду.
Задача № 211327
Верно ли, что к любому числу, равному произведению двух последовательных натуральных чисел, можно приписать в конце какие-то две цифры так, что получится квадрат натурального числа?
Задача № 209502
В футбольном чемпионате участвовали 16 команд. Каждая команда сыграла с каждой из остальных по одному разу, за победу давалось 3 очка, за ничью – 1 очко, за поражение – 0. Назовём команду успешной, если она набрала хотя бы половину от наибольшего возможного количества очков. Какое наибольшее количество успешных команд могло быть в турнире?
Задача № 209501
Дано натуральное число . Для того чтобы найти целое число, ближайшее к , воспользуемся следующим способом: найдём среди квадратов натуральных чисел число , ближайшее к числу ; тогда и будет искомым числом. Обязательно ли этот способ даст правильный ответ?
Задача № 209500
За первый год население некоторой деревни возросло на n человек, а за второй – на 300 человек. При этом за первый год население увеличилось на 300%, а за второй – на n %. Сколько жителей стало в деревне?
Задача № 209494
Номер нынешней олимпиады (70) образован последними цифрами года её проведения, записанными в обратном порядке. Сколько еще раз повторится такая ситуация в этом тысячелетии?
Задача № 209483
Круглая мишень разбита на 20 секторов, которые нумеруются по кругу в каком-либо порядке числами 1, 2, ..., 20. Если секторы занумерованы, например, в следующем порядке 1, 20, 5, 12, 9, 14, 11, 8, 16, 7, 19, 3, 17, 2, 15, 10, 6, 13, 4, 18, то наименьшая из разностей между номерами соседних (по кругу) секторов равна 12 – 9 = 3. Может ли указанная величина при нумерации в другом порядке быть больше 3? Каково наибольшее возможное значение этой величины?
Задача № 208181
Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике имеется не более 35 углов, меньших170o .
Задача № 208091
В треугольнике ABC проведены биссектриса AK, медиана BL и высота CM. Треугольник KLM – равносторонний. Докажите, что треугольник ABC – равносторонний.
Задача № 207985
Бумажный треугольник с углами 20°, 20°, 140° разрезается по одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе, и так далее. Может ли после нескольких разрезов получиться треугольник, подобный исходному?
Задача № 207983
Для двух данных различных точек плоскостиAиBнайдите геометрическое место таких точекC, что треугольникABCостроугольный, а его уголA - средний по величине.Комментарий. Подсредним по величинеуглом мы понимаем угол, которыйне большеодного из углов, ине меньшедругого. Так, например, мы считаем, что у равностороннего треугольника любой угол - средний по величине.
Задача № 207978
Известно, что число n является суммой квадратов трёх натуральных чисел. Показать, что число n² тоже является суммой квадратов трёх натуральных чисел.
Задача № 207977
Обозначим через S(x) сумму цифр натурального числа x. Решить уравнения: а) x + S(x) + S(S(x)) = 1993; б) x + S(x) + S(S(x)) + S(S(S(x))) = 1993.
Задача № 207857
Пусть a, b, c – такие целые неотрицательные числа, что 28a + 30b + 31c = 365. Докажите, что a + b + c = 12.
1–25 из 177