Задача № 208077
Точка P лежит внутри равнобедренного треугольника ABC (AB = BC ), причём ∠ABC = 80°, ∠PAC = 40°, ∠ACP = 30°. Найдите угол BPC.
Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 208043
В трапеции ABCD AB – основание, AC = BC, H – середина AB. Пусть l – прямая, проходящая через точку H и пересекающая прямые AD и BD в точках P и Q соответственно. Докажите, что либо углы ACP и QCB равны, либо их сумма равна 180°.
Задача № 208041
Если повернуть квадрат вокруг его центра на 45°, то стороны повёрнутого квадрата разобьют каждую сторону первоначального отрезка на три отрезка, длины которых относятся как a : b : a (эти отношения легко вычислить). Для произвольного выпуклого четырёхугольника сделаем аналогичное построение: разобьём каждую его сторону в тех же отношениях a : b : a и проведём прямую через каждые две точки деления, соседние с вершиной (лежащие на сходящейся к ней стороне). Докажите, что площадь четырёхугольника, ограниченного четырьмя построенными прямыми, равна площади исходного четырёхугольника.
Задача № 208032
Пусть M – внутренняя точка прямоугольника ABCD, а S – его площадь. Докажите, что S ≤ AM·CM + BM·DM.
Задача № 208005
Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке {(точка Нагеля))
Задача № 207858
Квадрат со стороной 1 разрезали на прямоугольники, у каждого из которых отметили одну сторону. Докажите, что сумма длин всех отмеченных сторон не может быть меньше 1.
Задача № 207853
Путешественник посетил деревню, в котором каждый человек либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Жители деревни стали в круг, и каждый сказал путешественнику про соседа справа, правдив ли он. На основании этих сообщений путешественник смог однозначно определить, какую долю от всех жителей деревни составляют лжецы. Определите и вы, чему она равна.
Задача № 207844
На плоскости дано конечное число полос, сумма ширин которых равна 100, и круг радиуса 1. Докажите, что каждую из полос можно параллельно перенести так, чтобы все они вместе покрыли круг.
Задача № 207812
В углу шахматной доски размером m×n полей стоит ладья. Двое по очереди передвигают её по вертикали или по горизонтали на любое число полей; при этом не разрешается, чтобы ладья стала на поле или прошла через поле, на котором она уже побывала (или через которое уже проходила). Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто из играющих может обеспечить себе победу: начинающий или его партнер, и как ему следует играть?
Задача № 207802
a) Восемь школьников решали восемь задач. Оказалось, что каждую задачу решили пять школьников. Докажите, что найдутся такие два школьника, что каждую задачу решил хотя бы один из них. б) Если каждую задачу решили четыре ученика, то может оказаться, что таких двоих не найдётся.
Задача № 207782
Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из прямого угла) на два других. Докажите, что после любого количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.
Задача № 207770
Рассматривается выпуклый четырёхугольник ABCD. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: AB и CD – в точке P, CB и DA – в точке Q. Пусть lA, lB, lC и lD – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно A, B, C, D. Пусть lP и lQ – внешние биссектрисы углов соответственно APD и AQB (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти углы до развёрнутого). Обозначим через MAC точку пересечения lA и lC, через MBD – lB и lD, через MPQ – lP и lQ. Докажите, что, если все три точки MAC, MBD и MPQ существуют, то они лежат на одной прямой.
Задача № 207765
Существует ли такой многочлен P(x), что у него есть отрицательный коэффициент, а все коэффициенты любой его степени (P(x))n, n > 1, положительны?
Задача № 207764
Рассматривается произвольный многоугольник (не обязательно выпуклый). а) Всегда ли найдётся хорда многоугольника, которая делит его на две равновеликие части? б) Докажите, что любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на части, площадь каждой из которых не меньше чем ⅓ площади многоугольника. (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур.)
Задача № 207759
В квадрате клетчатой бумаги 10×10 нужно расставить один корабль 1×4, два – 1×3, три – 1×2 и четыре – 1×1. Корабли не должны иметь общих точек (даже вершин) друг с другом, но могут прилегать к границам квадрата. Докажите, что а) если расставлять их в указанном выше порядке (начиная с больших), то этот процесс всегда удается довести до конца, даже если в каждый момент заботиться только об очередном корабле, не думая о будущих; б) если расставлять их в обратном порядке (начиная с малых), то может возникнуть ситуация, когда очередной корабль поставить нельзя.
Задача № 207758
Найдите наибольшее натуральное число, не оканчивающееся нулем, которое при вычеркивании одной (не первой) цифры уменьшается в целое число раз.
Задача № 207757
Две окружности пересекаются в точках A и B. В точке A к обеим проведены касательные, пересекающие окружности в точках M и N. Прямые BM и BN пересекают окружности еще раз в точках P и Q (P – на прямой BM, Q – на прямой BN). Докажите, что отрезки MP и NQ равны.
Задача № 207736
Ваня считает, что дроби "сокращают", зачёркивая одинаковые цифры в числителе и знаменателе. Серёжа заметил, что иногда Ваня получает верные равенства, например, 49/98 = 4/8. Найдите все правильные дроби с числителем и знаменателем, состоящими из двух ненулевых цифр, которые можно так "сократить".
Задача № 205141
В возрастающей бесконечной последовательности натуральных чисел каждое число, начиная с 2002-го, является делителем суммы всех предыдущих чисел. Докажите, что в этой последовательности найдётся некоторое число, начиная с которого каждое число равно сумме всех предыдущих.
Задача № 205112
На двух клетках шахматной доски стоят чёрная и белая фишки. За один ход можно передвинуть любую из них на соседнюю по вертикали или горизонтали клетку (две фишки не могут стоять на одной клетке). Могут ли в результате таких ходов встретиться все возможные варианты расположения этих двух фишек, причём ровно по одному разу?
Задача № 205077
Какое наибольшее число коней можно расставить на доске 5×5 клеток так, чтобы каждый из них бил ровно двух других?
Задача № 204037
Мальчик Стёпа говорит: позавчера мне было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13. Может ли такое быть?
Задача № 203964
Имеется n целых чисел. Доказать, что среди них найдется несколько, или быть может одно, сумма которых делится на n.
Задача № 203956
Улитке нужно забраться на дерево высотой 10 метров. За день она поднимается на 4 метра, а за ночь сползает на 3. Когда она доползет до цели, если стартовала улитка утром в понедельник?
Задача № 203012
Винни-Пух решил позавтракать. Он налил себе стакан чая и добавил сливок из большого кувшина. Но как только он перемешал сливки и чай, то понял, что хочет пить чай без сливок. Недолго думая, он вылил из стакана в кувшин столько же чая со сливками, сколько сначала взял оттуда сливок. Конечно же, при переливании чай от сливок не отделился, и у Винни-Пуха образовались две смеси чая и сливок – в стакане и в кувшине. Тогда Винни-Пух задумался: чего же получилось больше – чая в кувшине со сливками или сливок в стакане чая? А как думаете вы?
26–50 из 4626