Задача № 2077708 класс9 класс10 класс11 класс3 / 5
Рассматривается выпуклый четырёхугольник ABCD. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: AB и CD – в точке P, CB и DA – в точке Q. Пусть lA, lB, lC и lD – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно A, B, C, D. Пусть lP и lQ – внешние биссектрисы углов соответственно APD и AQB (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти углы до развёрнутого). Обозначим через MAC точку пересечения lA и lC, через MBD – lB и lD, через MPQ – lP и lQ. Докажите, что, если все три точки MAC, MBD и MPQ существуют, то они лежат на одной прямой.
Задача № 2077659 класс10 класс11 класс3 / 5
Существует ли такой многочлен P(x), что у него есть отрицательный коэффициент, а все коэффициенты любой его степени (P(x))n, n > 1, положительны?
Задача № 2051419 класс10 класс11 класс3 / 5
В возрастающей бесконечной последовательности натуральных чисел каждое число, начиная с 2002-го, является делителем суммы всех предыдущих чисел. Докажите, что в этой последовательности найдётся некоторое число, начиная с которого каждое число равно сумме всех предыдущих.
Задача № 19860210 класс11 класс3 / 5
Рассмотрим последовательность, первые два члена которой равны 1 и 2 соответственно, а каждый следующий член – это наименьшее натуральное число, которое еще не встретилось в последовательности и которое не взаимно просто с предыдущим членом последовательности. Докажите, что каждое натуральное число входит в эту последовательность.
Задача № 19842010 класс11 класс3 / 5
Будем называть "размером" прямоугольного параллелепипеда сумму трёх его измерений – длины, ширины и высоты. Может ли случиться, что в некотором прямоугольном параллелепипеде поместился больший по размеру прямоугольный параллелепипед?
Задача № 19839710 класс11 класс3 / 5
Внутренняя точка M выпуклого четырёхугольника ABCD такова, что треугольники AMB и CMD – равнобедренные с углом величиной 120° при вершине M. Докажите существование такой точки N, что треугольники BNC и DNA – правильные.
Задача № 19837210 класс11 класс3 / 5
Верны ли утверждения: а) Если многоугольник можно разбить ломаной на два равных многоугольника, то его можно разбить отрезком на два равных многоугольника. б) Если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два равных многоугольника, то его можно разбить отрезком на два равных многоугольника. в) Если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два многоугольника, которые можно перевести друг в друга движением, сохраняющим ориентацию (то есть поворотом или параллельным переносом), то его можно разбить отрезком на два многоугольника, которые можно перевести друг в друга таким же движени...
Задача № 19830910 класс11 класс3 / 5
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) угол A равен α. На стороне AB взята точка D так, что AD = AB/n. Найдите сумму n – 1 углов, под которыми виден отрезок AD из точек, делящих сторону BC на n равных частей: а) при n = 3; б) при произвольном n.
Задача № 19828710 класс11 класс3 / 5
Прямоугольник разбит на прямоугольные треугольники, граничащие друг с другом только по целым сторонам, так, что общая сторона двух треугольников всегда служит катетом одного и гипотенузой другого. Докажите, что отношение большей стороны прямоугольника к меньшей не менее 2.
Задача № 1982868 класс9 класс10 класс11 класс3 / 5
Дано n чисел, p – их произведение. Разность между p и каждым из этих чисел – нечётное число. Докажите, что все данные n чисел иррациональны.
Задача № 19828110 класс11 класс3 / 5
Существуют ли такие а) 4 различных натуральных числа; б) 5 различных натуральных чисел; в) 5 различных целых чисел; г) 6 различных целых чисел, что сумма каждых трёх из них – простое число?
Задача № 1982249 класс10 класс11 класс3 / 5
В какое наименьшее число цветов нужно раскрасить клетки бесконечного листа клетчатой бумаги, чтобы а) каждые две клетки на расстоянии 6 были покрашены в разные цвета? б) каждые четыре клетки, образующие фигуру формы буквы Г, были покрашены в четыре разных цвета? (Расстояние между клетками – наименьшее число линий сетки, горизонтальных и вертикальных, которые должна пересечь ладья на пути из одной клетки в другую.)
Задача № 19814010 класс11 класс3 / 5
Даны три треугольника: A1A2A3, B1B2B3, C1C2C3. Известно, что их центры тяжести (точки пересечения медиан) лежат на одной прямой, а никакие три из девяти вершин этих треугольников не лежат на одной прямой. Рассматриваются 27 треугольников вида AiBjCk, где i, j, k независимо пробегают значения 1, 2, 3. Докажите, что эти 27 треугольников можно разбить на две группы так, что сумма площадей треугольников первой группы будет равна сумме площадей треугольников второй группы.
Задача № 19813810 класс11 класс3 / 5
Внутри окружности радиуса 1 расположена замкнутая ломаная (самопересекающаяся), содержащая 51 звено, причём известно, что длина каждого звена равна . Для каждого угла этой ломаной рассмотрим треугольник, двумя сторонами которого служат звенья ломаной, образующие этот угол (таких треугольников всего 51). Докажите, что сумма площадей этих треугольников не меньше, чем утроенная площадь правильного треугольника, вписанного в окружность.
Задача № 1980458 класс9 класс10 класс11 класс3 / 5
На какое максимальное число частей могут разбить координатную плоскость xOy графики 100 квадратных трехчлёнов вида y = anx² + bnx + cn (n = 1, 2, ..., 100)?
Задача № 1979208 класс9 класс10 класс11 класс3 / 5
На окружности имеется 21 точка. Докажите, что среди дуг, имеющих концами эти точки, найдётся не меньше ста таких, угловая мера которых не превышает 120°.
Задача № 19783410 класс11 класс3 / 5
Из вершин основания тетраэдра в боковых гранях провели высоты, а затем в каждой из боковых граней основания двух лежащих в ней высот соединили прямой. Докажите, что эти три прямые параллельны одной плоскости.
Задача № 19779010 класс11 класс3 / 5
Докажите для каждого натурального числа n > 1 равенство: [n1/2] + [n1/3] + ... + [n1/n] = [log2n] + [log3n] + ... + [lognn].
Задача № 1977799 класс10 класс11 класс3 / 5
В стране больше 101 города. Столица соединена авиалиниями со 100 городами, а каждый город, кроме столицы, соединён авиалиниями ровно с десятью городами (если A соединён с B, то B соединён с A). Известно, что из каждого города можно попасть в любой другой (может быть, с пересадками). Доказать, что можно закрыть половину авиалиний, идущих из столицы, так, что возможность попасть из каждого города в любой другой сохранится.
Задача № 19776310 класс11 класс3 / 5
В пространстве имеются 30 ненулевых векторов. Доказать, что среди них найдутся два, угол между которыми меньше 45°.
Задача № 1852419 класс10 класс11 класс3 / 5
Докажите следующие равенства: а) б) в)
Задача № 17962210 класс11 класс3 / 5
Каждая грань выпуклого многогранника – многоугольник с чётным числом сторон. Обязательно ли его рёбра можно раскрасить в два цвета так, чтобы у каждой грани было поровну рёбер разных цветов?
Задача № 1796048 класс9 класс10 класс11 класс3 / 5
На прямоугольном экране размером m×n, разбитом на единичные клетки, светятся более (m – 1)(n – 1) клеток. Если в каком-либо квадрате 2×2 не светятся три клетки, то через некоторое время погаснет и четвёртая. Докажите, что тем не менее на экране всегда будет светиться хотя бы одна клетка.
Задача № 1794238 класс9 класс10 класс11 класс3 / 5
Найти все такие натуральные n, для которых числа 1/n и 1/n+1 выражаются конечными десятичными дробями.
Задача № 17934510 класс11 класс3 / 5
Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами, причём для каждого натурального x выполняется неравенство P(x) > x. Определим последовательность {bn} следующим образом: b1 = 1, bk+1 = P(bk) для k ≥ 1. Известно, что для любого натурального d найдется член последовательности {bn}, делящийся на d. Докажите, что P(x) = x + 1.