Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» - сложность 1 с решениями

Петя купил "Конструктор", в котором было 100 палочек разной длины. В инструкции к "Конструктору" написано, что из любых трёх палочек "Конструктора" можно составить треугольник. Петя решил проверить это утверждение, составляя из палочек треугольники. Палочки лежат в конструкторе по возрастанию длин. Какое наименьшее число проверок (в самом плохом случае) надо сделать Пете, чтобы доказать или опровергнуть утверждение инструкции?

Из горячего крана ванна заполняется за 23 минуты, из холодного – за 17 минут. Маша открыла сначала горячий кран. Через сколько минут она должна открыть холодный, чтобы к моменту наполнения ванны горячей воды налилось в 1,5 раза больше, чем холодной?

В корзине лежат 30 грибов – рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов – хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?

Найдите координаты вершин треугольника, стороны которого лежат на прямых <!-- MATH $2x + y - 6 = 0$ --> 2<i>x</i> + <i>y</i> - 6 = 0, <!-- MATH $x - y + 4 = 0$ --> <i>x</i> - <i>y</i> + 4 = 0 и <i>y</i> + 1 = 0.

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых <!-- MATH $3x + 2y - 5 = 0$ --> 3<i>x</i> + 2<i>y</i> - 5 = 0 и <!-- MATH $x - 3y + 2 = 0$ --> <i>x</i> - 3<i>y</i> + 2 = 0 параллельно оси ординат.

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку <i>M</i>(- 3;1) параллельно а) оси <i>Ox</i>; б) оси <i>Oy</i>.

Даны точки <i>A</i>(0; - 2), <i>B</i>(- 2;1), <i>C</i>(0;0) и <i>D</i>(2; - 9). Укажите те из них, которые лежат на прямой <!-- MATH $2x - 3y + 7 = 0$ --> 2<i>x</i> - 3<i>y</i> + 7 = 0.

Прямая, параллельная стороне <i>LM</i> треугольника <i>KLM</i>, пересекает сторону <i>KL</i> в точке <i>A</i>, а сторону <i>KM</i> – в точке <i>B</i>. Площадь трапеции <i>ALMB</i> в три раза меньше площади треугольника <i>ABK</i>. Найдите  <i>MB</i> : <i>MK</i>.

Прямая, параллельная стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i>, пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>M</i>, а сторону <i>AC</i> – в точке <i>N</i>. Площадь треугольника <i>MCN</i> в два раза больше площади трапеции <i>ABMN</i>. Найдите  <i>CM</i> : <i>MB</i>.

Аня, Боря и Вася составляли слова из заданных букв. Все составили разное число слов: больше всех – Аня, меньше всех – Вася. Затем ребята просуммировали очки за свои слова. Если слово есть у двух игроков, за него даётся 1 очко, у одного игрока – 2 очка, слова, общие у всех трёх игроков, вычёркиваются. Могло ли так случиться, что больше всех очков набрал Вася, а меньше всех – Аня?

Сто человек ответили на вопрос: "Будет ли новый президент лучше прежнего?" Из них <i>a</i> человек считают, что будет лучше, <i>b</i> – что будет такой же, и <i>c</i> – что будет хуже. Социологи построили два показателя "оптимизма" опрошенных:  <i>m = a + ^b</i>/₂  и  <i>n = a – c</i>.  Оказалось, что  <i>m</i> = 40.  Найдите <i>n</i>.

<i>p</i>(<i>x</i>) – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что для некоторых целых <i>a</i> и <i>b</i> выполняется равенство:  <i>p</i>(<i>a</i>) – <i>p</i>(<i>b</i>) = 1.

Докажите, что <i>a</i> и <i>b</i> различаются на 1.

Как, не имея никаких измерительных средств, отмерить 50 см от шнурка, длина которого &frac23; метра?

Площадь треугольника<i> ABC </i>равна 2. Найдите площадь сечения пирамиды<i> ABCD </i>плоскостью, проходящей через середины рёбер<i> AD </i>,<i> BD </i>,<i> CD </i>.

Найдите объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со стороной, равной <i>a</i>, если боковое ребро призмы равно стороне основания и наклонено к плоскости основания под углом <!-- MATH $60^{\circ }$ --> 60^<tt>o</tt>.

Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку<i> M</i>(<i>-</i>2<i>;</i>0<i>;</i>3)параллельно плоскости2<i>x - y - </i>3<i>z + </i>5<i> = </i>0.

Даны три некомпланарных вектора. Существует ли четвертый вектор, перпендикулярный трем данным?

Пусть <i>M</i> - точка пересечения медиан треугольника <i>ABC</i>, <i>O</i> - произвольная точка пространства. Докажите, что

<!-- MATH \begin{displaymath} OM^{2} = \frac{1}{3} (OA^{2} + OB^{2} + OC^{2}) - \frac{1}{9} (AB^{2} + BC^{2} + AC^{2}). \end{displaymath} --> <div align="CENTER"> <i>OM</i>² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$(<i>OA</i>² + <i>OB</i>² + <i>OC</i>²) - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$(<i>AB</i>² + <i>BC</i>² + <i>AC</i>²). </div>

Докажите, что в любой правильной пирамиде все боковые ребра равны.

Доказать, что из любых 2001 целых чисел найдутся два, разность которых делится на 2000.

<i>a, b, c</i> – такие три числа, что  <i>a + b + c</i> = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение  <i>ab + ac + bc</i> ≤ 0.

Поезд проходит мимо наблюдателя в течение <i>t</i>₁ секунд, при той же скорости он проходит через мост длиной в <i>a</i> метров в течение <i>t</i>₂ секунд.

Найти длину и скорость поезда.

Докажите, что если в треугольнике медиана и биссектриса совпадают, то треугольник равнобедренный.

Докажите, что середины сторон правильного многоугольника образуют правильный многоугольник.

Лист бумаги согнут пополам. Докажите, что линия сгиба — прямая.