Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 4-7 класса
Найдите последние две цифры в десятичной записи числа 1! + 2! + ... + 2001! + 2002!.
Нарисуйте на плоскости шесть точек так, чтобы они служили вершинами ровно для 17 треугольников.
Имеется полоска 1×99, разбитая на 99 клеток 1×1, которые раскрашены через одну в чёрный и белый цвет. Разрешается перекрашивать одновременно все клетки любого клетчатого прямоугольника 1×<i>k</i>. За какое наименьшее число перекрашиваний можно сделать всю полоску одноцветной?
Зашифрование сообщения состоит в замене букв исходного текста на пары цифр в соответствии с некоторой (известной только отправителю и получателю) таблицей, в которой разным буквам алфавита соответствуют разные пары цифр. Криптографу дали задание восстановить зашифрованный текст. В каком случае ему будет легче выполнить задание: если известно, что первое слово второй строки – "термометр" или что первое слово третьей строки – "ремонт"?
Сколько существует пятизначных чисел, получаемых из числа 12345 перестановкой цифр и у которых чётные цифры не стоят рядом?
Ковровая дорожка покрывает лестницу из 9 ступенек. Длина и высота лестницы равны 2 метрам. Хватит ли этой ковровой дорожки, чтобы покрыть лестницу из 10 ступенек длиной и высотой 2 метра?
Повесьте картину на веревочке на два гвоздя так, чтобы при вытаскивании любого из гвоздей картина падала.
Докажите, что предпоследняя цифра степени тройки всегда чётна.
В классе 20 учеников, причём каждый дружит не менее, чем с 14 другими.
Можно ли утверждать, что найдутся четыре ученика, которые все дружат между собой?
Сломанный калькулятор выполняет только одну операцию "звездочка": <i>a</i>☆<i>b</i> = 1 – <i>a</i> : <i>b</i>.
Докажите, что с помощью этого калькулятора все же возможно выполнить любое из четырёх арифметических действий.
Шеренга новобранцев стояла лицом к сержанту. По команде "налево" некоторые повернулись налево, некоторые – направо, а остальные – кругом.
Всегда ли сержант сможет встать в строй так, чтобы с обеих сторон от него оказалось поровну новобранцев, стоящих к нему лицом?
Из чисел 1, 2, ... , 49, 50 выбрали 26 чисел. Обязательно ли среди них найдутся два числа, отличающиеся друг от друга на 1?
На столе стоят восемь стаканов с водой. Разрешается взять любые два стакана и уравнять в них количества воды, перелив часть воды из одного стакана в другой. Докажите, что с помощью таких операций можно добиться того, чтобы во всех стаканах было поровну воды.
Трое друзей решают жребием, кто идет за соком. У них есть одна монета. Как им устроить жребий, чтобы все имели равные шансы бежать?
Существуют ли несколько невыпуклых многоугольников, из которых можно составить выпуклый?
Можно ли расположить 12 одинаковых монет вдоль стенок большой квадратной коробки так, чтобы вдоль каждой стенки лежало ровно
а) по 2 монеты;
б) по 3 монеты;
в) по 4 монеты;
г) по 5 монет;
д) по 6 монет;
е) по 7 монет?
(Разрешается класть монеты одну на другую.)
Расположите на плоскости шесть прямых и отметьте на них семь точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено три точки.
У Вани работает 10 сотрудников. Каждый месяц Ваня повышает зарплату на 1 рубль ровно девятерым (по своему выбору).
Как Ване повышать зарплаты, чтобы сделать их одинаковыми? (Зарплата – целое число рублей.)
У весов сдвинута стрелка. Когда на весы положили одну связку бананов, весы показали 1,5 кг. Когда на весы положили связку бананов побольше, весы показали 2,5 кг. Когда взвесили сразу обе связки бананов, весы показали 3,5 кг. Сколько на самом деле весили связки бананов?
Ключом шифра, называемого "решеткой", является прямоугольный трафарет размера 6 на 10 клеток. В трафарете вырезаны 15 клеток так, что при наложении его на прямоугольный лист бумаги размера 6 на 10 клеток четырьмя возможными способами его вырезы полностью покрывают всю площадь листа.
Буквы сообщения (без пропусков) последовательно вписываются в вырезы трафарета (по строкам, в каждой строке слева направо) при каждом из четырех его возможных положений. Прочтите исходный текст, если после зашифрования на листе бумаги оказался следующий текст (на русском языке):<img src="/storage/problem-media/35685/problem_35685_img_2.gif" border="0" alt="\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline Р & П & Т & Е & Ш & А & В & Е &...
Буквы русского алфавита занумерованы в соответствии с таблицей:$\begin{array}{cccccccccccccccccccccc} А & Б & В & Г & Д & Е & Ж & З & И & К & ... & Ф & Х & Ц & Ч & Ш & Щ & Ь & Ы & Э & Ю & Я \ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & ... & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 & 29 & 30 \end{array}$Для зашифрования сообщения, состоящего из n букв, выбирается ключ K - некоторая последовательность из n букв приведенного выше алфавита. Зашифрование каждой буквы сообщения состоит в сложении ее номера в таблице с номером соответствующей буквы ключевой последовательности и замене полученной суммы на букву алфавита, номер...
Есть три кирпича и линейка. Как измерить без вычислений диагональ кирпича?
Дана квадратная таблица 4×4, в каждой клетке которой стоит знак "+" или "–" : <div align="center"><img src="/storage/problem-media/35681/problem_35681_img_2.gif"></div>За один ход можно поменять знаки на противоположные в любой строке или любом столбце. Можно ли через несколько ходов получить таблицу из одних плюсов?
Докажите, что найдутся двадцать москвичей, имеющих одинаковое число волос на голове.
(Известно, что у человека на голове не более 400000 волос, а в Москве не менее 8 миллионов жителей.)
Николай с сыном и Петр с сыном были на рыбалке. Николай поймал столько же рыб, сколько и его сын, а Петр – втрое больше, чем его сын. Всего было поймано 25 рыб. Как зовут сына Петра?