Задача № 2162948 класс9 класс4 / 5
Задача Паппа. III в. н.э.}На отрезке AB взята точка C и на отрезках AB , BC , CA как на диаметрах построены соответственно полуокружности α , β , γ по одну сторону от AC . В криволинейный треугольник, образованный этими полуокружностями, вписана окружность δ1, в криволинейный треугольник, образованный полуокружностями α , β и окружностью δ1, вписана окружность δ2и т.д. (окружность δn вписана в криволинейный треугольник, образованный полуокружностями α , β и окружностью δn-1, n=2,3, .. ). Пусть rn — радиус окружности δn , dn — расстояние от центра окружности δn до прямой AB . Докажите, что = 2n...
Задача № 2162878 класс9 класс4 / 5
Докажите, что точки пересечения смежных триссектрис улов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника.
Задача № 2161168 класс9 класс4 / 5
Докажите, что композиция двух поворотов на углы, в сумме не кратные360o , является поворотом. В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота? Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна360o .
Задача № 2161068 класс9 класс4 / 5
Внутри остроугольного треугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
Задача № 2160908 класс9 класс4 / 5
Докажите, что окружность, проходящая через середины трёх сторон треугольника, касается его вписанной и трёх вневписанных окружностей (теорема Фейербаха).
Задача № 2153328 класс9 класс4 / 5
Дан равнобедренный треугольник ABC ( AB=BC ). Выбрана точка X на стороне AC . Окружность проходит через точку X , касается стороны AC и пересекает описанную окружность треугольника ABC в таких точках M и N , что прямая MN делит отрезок BX пополам и пересекает стороны AB и BC в точках P и Q . Докажите, что описанная окружность треугольника BPQ проходит через центр описанной окружности треугольника ABC .
Задача № 2116688 класс9 класс4 / 5
На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник, причём его центр совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC.
Задача № 2095058 класс9 класс10 класс4 / 5
В четырёхугольнике ABCD стороны AB, BC и CD равны, M – середина стороны AD. Известно, что ∠BMC = 90°. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника ABCD.
Задача № 2088948 класс9 класс4 / 5
В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки P и Q – середины диагоналей AC и BD соответственно. Прямая PQ пересекает стороны AB и CD в точках N и M соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников ANP , BNQ , CMP и DMQ пересекаются в одной точке.
Задача № 2086588 класс9 класс4 / 5
Пусть B' — точка описанной окружности остроугольного треугольника ABC , диаметрально противоположная вершине B ; I — центр вписанной окружности треугольника ABC ; M — точка касания вписанной окружности со стороной AC . На сторонах AB и BC выбраны соответственно точки K и L , причём KB=MC и LB=AM . Докажите, что прямые B'I и KL перпендикулярны.
Задача № 2082488 класс9 класс10 класс4 / 5
В выпуклом четырёхугольнике ABCD провели биссектрисы la, lb, lc и ld внешних углов при вершинах A, B, C и D соответственно. Точки пересечения прямых la и lb, lb и lc, lc и ld, ld и la обозначили через K, L, M и N. Известно, что три перпендикуляра, опущенных из точки K на AB, из L на BC, из M на CD пересекаются в одной точке. Докажите, что четырёхугольник ABCD – вписанный.
Задача № 2082458 класс9 класс10 класс4 / 5
Окружности S1 и S2 пересекаются в точках M и N. Через точку A окружности S1 проведены прямые AM и AN, пересекающие окружность S2 в точках B и C, а через точку D окружности S2 – прямые DM и DN, пересекающие S1 в точках E и F, причём точки A, E, F лежат по одну сторону от прямой MN, а D, B, C – по другую (см. рис.). Докажите, что если AB = DE, то точки A, F, C и D лежат на одной окружности, положение центра которой не зависит от выбора точек A и D.
Задача № 2082388 класс9 класс10 класс4 / 5
Дан треугольник A0B0C0. На отрезке A0B0отмечены точки A1, A2, ,An , а на отрезке B0C0– точки C1, C2, , Cn , причём все отрезки AiCi+1( i=0,1, n-1), параллельны между собой и все отрезки CiAi+1( i=0,1, n-1) – тоже. Отрезки C0A1, A1C2, A2C1и C1A0ограничивают некоторый параллелограмм, отрезки C1A2, A2C3, A3C2и C2A1– тоже и т.д. Докажите, что сумма площадей всех n-1получившихся параллелограммов меньше половины площади треугольника A0B0C0.
Задача № 2082338 класс9 класс4 / 5
Дан правильный треугольник ABC . Через вершину B проводится произвольная прямая l , а через точки A и C проводятся прямые, перпендикулярные прямой l , пересекающие её в точках D и E . Затем, если точки D и E различны, строятся правильные треугольники DEP и DET , лежащие по разные стороны от прямой l . Найдите геометрическое место точек P и T .
Задача № 2082258 класс9 класс4 / 5
В остроугольном треугольнике проведены высоты AA' и BB'. На дуге ACB описанной окружности треугольника ABC выбрана точка D. Пусть прямые AA' и BD пересекаются в точке P, а прямые BB' и AD пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая A'B' проходит через середину отрезка PQ.
Задача № 2082238 класс9 класс10 класс11 класс4 / 5
Пусть AD – биссектриса треугольника ABC и прямая l касается окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC , в точках M и N соответственно. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков BD , DC и MN касается прямой l .
Задача № 2082088 класс9 класс4 / 5
На диагонали AC выпуклого четырёхугольника ABCD выбрана точка K, для которой KD = DC, ∠BAC = ½ KDC, ∠DAC = ½ ∠KBC. Докажите, что ∠KDA = ∠BCA или ∠KDA = ∠KBA.
Задача № 2081938 класс9 класс10 класс4 / 5
Окружности S1и S2с центрами O1и O2пересекаются в точках A и B (см рис.). Луч O1B пересекает окружность S2в точке F , а луч O2B пересекает окружность S1в точке E . Прямая, проходящая через точку B параллельно прямой EF , вторично пересекает окружности S1и S2в точках M и N соответственно. Докажите, что MN=AE+AF .
Задача № 2081698 класс9 класс4 / 5
а) Каждую сторону четырёхугольника в процессе обхода по часовой стрелке продолжили на её длину. Оказалось, что новые концы построенных отрезков служат вершинами квадрата. Докажите, что исходный четырёхугольник – квадрат. б) Докажите, что если в результате такой же процедуры из некоторого n-угольника получается правильный n-угольник, то исходный многоугольник – правильный.
Задача № 2081568 класс9 класс10 класс4 / 5
Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC , касается его сторон AB , BC и AC в точках K , L и M соответственно. К окружностям, вписанным в треугольники BKL , CLM и AKM проведены попарно общие внешние касательные, отличные от сторон треугольника ABC . Докажите, что эти касательные пересекаются в одной точке.
Задача № 2081438 класс9 класс10 класс4 / 5
На высотах (но не на их продолжениях) остроугольного треугольника ABC взяты точки A1, B1, C1, отличные от точки пересечения высот H , причём сумма площадей треугольников ABC1, BCA1, CAB1равна площади треугольника ABC . Докажите, что окружность, описанная около треугольника A1B1C1, проходит через точку H .
Задача № 2081338 класс9 класс4 / 5
ABCD – выпуклый четырёхугольник. Окружности, построенные на отрезках AB и CD как на диаметрах, касаются внешним образом в точке M , отличной от точки пересечения диагоналей четырёхугольника. Окружность, проходящая через точки A , M и C , вторично пересекает прямую, соединяющую точку M и середину AB в точке K , а окружность, проходящая через точки B , M и D , вторично пересекает ту же прямую в точке L . Докажите, что |MK-ML| = |AB-CD| .
Задача № 2081118 класс9 класс4 / 5
Радиус описанной окружности треугольника ABC равен радиусу окружности, касающейся стороны AB в точке C' и продолжений двух других сторон в точках A' и B' . Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC совпадает с ортоцентром (точкой пересечения высот) треугольника A'B'C' .
Задача № 2081048 класс9 класс4 / 5
Пусть la, lb и lc – длины биссектрис углов A, B и C треугольника ABC, а ma, mb и mc – длины соответствующих медиан. Докажите, что mala+mblb+mclc>1.
Задача № 2080958 класс9 класс4 / 5
Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC . На перпендикулярах, опущенных из M на стороны BC , AC и AB , взяты точки A1, B1и C1соответственно, причём A1B1 MC и A1C1 MB . Докажите, что точка M является точкой пересечения медиан и в треугольнике A1B1C1.