Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 11 класса - сложность 1 с решениями

Точки<i> A </i>,<i> B </i>,<i> C </i>и<i> D </i>не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые<i> AB </i>и<i> CD </i>не пересекаются.

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна<i> a </i>. Боковое ребро образует с плоскостью основания угол60<i>^o </i>. Найдите высоту пирамиды.

Площадь треугольника<i> ABC </i>равна 2. Найдите площадь сечения пирамиды<i> ABCD </i>плоскостью, проходящей через середины рёбер<i> AD </i>,<i> BD </i>,<i> CD </i>.

Найдите объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со стороной, равной <i>a</i>, если боковое ребро призмы равно стороне основания и наклонено к плоскости основания под углом <!-- MATH $60^{\circ }$ --> 60^<tt>o</tt>.

Даны три некомпланарных вектора. Существует ли четвертый вектор, перпендикулярный трем данным?

Пусть <i>M</i> - точка пересечения медиан треугольника <i>ABC</i>, <i>O</i> - произвольная точка пространства. Докажите, что

<!-- MATH \begin{displaymath} OM^{2} = \frac{1}{3} (OA^{2} + OB^{2} + OC^{2}) - \frac{1}{9} (AB^{2} + BC^{2} + AC^{2}). \end{displaymath} --> <div align="CENTER"> <i>OM</i>² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$(<i>OA</i>² + <i>OB</i>² + <i>OC</i>²) - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$(<i>AB</i>² + <i>BC</i>² + <i>AC</i>²). </div>

Докажите, что в любой правильной пирамиде все боковые ребра равны.

Существует ли четырехугольная пирамида, у которой две противоположные боковые грани перпендикулярны основанию?

В пространстве даны параллелограмм <i>ABCD</i> и плоскость <i>M</i>. Расстояния от точек <i>A</i>, <i>B</i> и <i>C</i> до плоскости <i>M</i> равны соответственно <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>.

Найти расстояние <i>d</i> от вершины <i>D</i> до плоскости <i>M</i>.

Существует ли отличный от куба шестигранник, у которого все грани являются равными ромбами?

В пространстве дана плоскость П и точки A и B по одну сторону от П (AB не параллельно П). Рассматриваются сферы, проходящие через точки A и B, касающиеся плоскости П. Докажите, что точки касания этих сфер и плоскости П лежат на одной окружности.

Основание пирамиды Хеопса – квадрат, а её боковые грани – равные равнобедренные треугольники.

Может ли угол грани при вершине пирамиды равняться 100°?

Плоскость, заданная уравнением x+2y+3z=0, разбивает пространство на два полупространства. Узнайте, в одном или в разных полупространствах лежат точки (1,2,-2) и (2,1,-1).

Какое максимальное число плоскостей симметрии может иметь тетраэдр?

Может ли проекция правильного тетраэдра на некоторую плоскость быть квадратом?

В пространстве даны три равных отрезка. Докажите, что найдется плоскость такая, что проекции данных отрезков на нее равны.

Постройте функцию, определенную во всех точках вещественной прямой и непрерывную ровно в одной точке.

Существует ли выпуклый многогранник, любое сечение которого плоскостью, не проходящей через вершину, является многоугольником с нечетным числом сторон?