Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 10 класса - сложность 1 с решениями
Найдите объём правильной треугольной призмы, все рёбра которой равны 1.
Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если образующая конуса в два раза больше его высоты.
Высота конуса равна<i> h </i>, а образующая равна<i> l </i>. Найдите радиус основания и площадь осевого сечения.
Точки<i> A </i>,<i> B </i>,<i> C </i>и<i> D </i>не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые<i> AB </i>и<i> CD </i>не пересекаются.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна<i> a </i>. Боковое ребро образует с плоскостью основания угол60<i><sup>o</sup> </i>. Найдите высоту пирамиды.
Даны точки <i>A</i>(0;0), <i>B</i>(- 2;1), <i>C</i>(3;3), <i>D</i>(2; - 1) и окружность <!-- MATH $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$ --> (<i>x</i> - 1)<sup>2</sup> + (<i>y</i> + 3)<sup>2</sup> = 25. Выясните, где расположены эти точки: на окружности, внутри или вне окружности.
<i>p</i>(<i>x</i>) – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что для некоторых целых <i>a</i> и <i>b</i> выполняется равенство: <i>p</i>(<i>a</i>) – <i>p</i>(<i>b</i>) = 1.
Докажите, что <i>a</i> и <i>b</i> различаются на 1.
Площадь треугольника<i> ABC </i>равна 2. Найдите площадь сечения пирамиды<i> ABCD </i>плоскостью, проходящей через середины рёбер<i> AD </i>,<i> BD </i>,<i> CD </i>.
Найдите объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со стороной, равной <i>a</i>, если боковое ребро призмы равно стороне основания и наклонено к плоскости основания под углом <!-- MATH $60^{\circ }$ --> 60<sup><tt>o</tt></sup>.
Даны три некомпланарных вектора. Существует ли четвертый вектор, перпендикулярный трем данным?
Пусть <i>M</i> - точка пересечения медиан треугольника <i>ABC</i>, <i>O</i> - произвольная точка пространства. Докажите, что
<!-- MATH \begin{displaymath} OM^{2} = \frac{1}{3} (OA^{2} + OB^{2} + OC^{2}) - \frac{1}{9} (AB^{2} + BC^{2} + AC^{2}). \end{displaymath} --> <div align="CENTER"> <i>OM</i><sup>2</sup> = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$(<i>OA</i><sup>2</sup> + <i>OB</i><sup>2</sup> + <i>OC</i><sup>2</sup>) - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$(<i>AB</i><sup>2</sup> + <i>BC</i><sup>2</sup> + <i>AC</i><sup>2</sup>). </div>
Докажите, что в любой правильной пирамиде все боковые ребра равны.
Существует ли четырехугольная пирамида, у которой две противоположные боковые грани перпендикулярны основанию?
В пространстве даны параллелограмм <i>ABCD</i> и плоскость <i>M</i>. Расстояния от точек <i>A</i>, <i>B</i> и <i>C</i> до плоскости <i>M</i> равны соответственно <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>.
Найти расстояние <i>d</i> от вершины <i>D</i> до плоскости <i>M</i>.
Существует ли отличный от куба шестигранник, у которого все грани являются равными ромбами?
В пространстве дана плоскость П и точки A и B по одну сторону от П (AB не параллельно П). Рассматриваются сферы, проходящие через точки A и B, касающиеся плоскости П. Докажите, что точки касания этих сфер и плоскости П лежат на одной окружности.
Можно ли из квадрата со стороной 10 см вырезать несколько кругов, сумма диаметров которых больше 5 м?
В график функции, симметричной относительно оси ординат, вписана "ёлочка" высотой 1. Известно, что "ветки" ёлочки составляют угол 45<sup>0</sup>с вертикалью. Найдите периметр ёлочки (т.е. сумму длин всех зеленых отрезков).
Сколькими способами можно составить расписание первого тура чемпионата России по футболу, в котором играет 16 команд? (Является важным, кто хозяин поля.)
Основание пирамиды Хеопса – квадрат, а её боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
Может ли угол грани при вершине пирамиды равняться 100°?
Плоскость, заданная уравнением x+2y+3z=0, разбивает пространство на два полупространства. Узнайте, в одном или в разных полупространствах лежат точки (1,2,-2) и (2,1,-1).
Бесконечный коридор ширины 1 поворачивает под прямым углом. Докажите, что можно подобрать проволоку так, чтобы расстояние между ее концами больше 4, и чтобы ее можно было протащить через этот коридор.
Треугольник имеет площадь, равную 1. Докажите, что длина его средней по длине стороны не меньше, чем$\sqrt {2}$.
В воздушном пространстве находятся облака. Оказалось, что пространство можно разбить десятью плоскостями на части так, чтобы в каждой из частей находилось не более одного облака. Через какое наибольшее число облаков мог пролететь самолет, придерживаясь прямолинейного курса?
Какое максимальное число плоскостей симметрии может иметь тетраэдр?