Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 1-11 класса - сложность 1 с решениями
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>боковым ребром<i> b </i>.
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и высотой<i> h </i>.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и боковым ребром<i> b </i>.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и высотой<i> h </i>.
Найдите объём правильной треугольной призмы, все рёбра которой равны 1.
Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если образующая конуса в два раза больше его высоты.
Высота конуса равна<i> h </i>, а образующая равна<i> l </i>. Найдите радиус основания и площадь осевого сечения.
Точки<i> A </i>,<i> B </i>,<i> C </i>и<i> D </i>не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые<i> AB </i>и<i> CD </i>не пересекаются.
Точка<i> A </i>лежит в плоскости<i> α </i>, ортогональная проекция отрезка<i> AB </i>на эту плоскость равна 1,<i> AB = </i>2. Найдите расстояние от точки<i> B </i>до плоскости<i> α </i>.
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны. Найдите угол между противоположными боковыми рёбрами.
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны<i> a </i>. Найдите объём пирамиды.
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны<i> a </i>. Найдите высоту пирамиды.
Найдите площадь полной поверхности правильного тетраэдра с ребром, равным<i> a </i>.
Найдите объём правильного тетраэдра с ребром, равным<i> a </i>.
Найдите высоту правильного тетраэдра с ребром<i> a </i>.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна<i> a </i>, боковая грань образует с плоскостью основания угол60<i><sup>o</sup> </i>. Найдите объём пирамиды.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна<i> a </i>, боковая грань образует с плоскостью основания угол60<i><sup>o</sup> </i>. Найдите высоту пирамиды.
Высота правильной шестиугольной пирамиды равна стороне основания. Найдите угол бокового ребра с плоскостью основания.
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна<i> a </i>. Боковая грань образует с плоскостью основания угол равный45<i><sup>o</sup> </i>. Найдите объём пирамиды.
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна<i> a </i>. Боковая грань образует с плоскостью основания угол45<i><sup>o</sup> </i>. Найдите высоту пирамиды.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна<i> a </i>. Боковое ребро образует с плоскостью основания угол60<i><sup>o</sup> </i>. Найдите объём пирамиды.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна<i> a </i>. Боковое ребро образует с плоскостью основания угол60<i><sup>o</sup> </i>. Найдите высоту пирамиды.
Медиана <i>AD</i>, высота <i>BE</i> и биссектриса <i>CF</i> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Известно, что <i>BO = CO</i>.
Докажите, что треугольник <i>ABC</i> равносторонний.
Даны точки <i>A</i>(0;0), <i>B</i>(- 2;1), <i>C</i>(3;3), <i>D</i>(2; - 1) и окружность <!-- MATH $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$ --> (<i>x</i> - 1)<sup>2</sup> + (<i>y</i> + 3)<sup>2</sup> = 25. Выясните, где расположены эти точки: на окружности, внутри или вне окружности.
Квадрат вписан в равнобедренный прямоугольный треугольник, причём одна вершина квадрата расположена на гипотенузе, противоположная ей вершина совпадает с вершиной прямого угла треугольника, а остальные лежат на катетах. Найдите сторону квадрата, если катет треугольника равен <i>a</i>.